NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 20

Uzupełniamy kwadrat. Postać $a(x-p)^2+q$ wskazuje wierzchołek $(p,q)$ i oś symetrii $x=p$.

a)

$$f(x)=x^2-2x-3=(x-1)^2-4.$$

Wierzchołek: $(1,-4)$; ramiona są skierowane w górę. Z równania $(x-1)^2=4$ otrzymujemy miejsca zerowe $-1$ i $3$.

b)

$$f(x)=-x^2-2x+1=-(x+1)^2+2.$$

Wierzchołek: $(-1,2)$; ramiona są skierowane w dół. Miejsca zerowe to $-1-\sqrt2$ i $-1+\sqrt2$.

c)

$$f(x)=\frac12(x^2-4x) =\frac12(x-2)^2-2.$$

Wierzchołek: $(2,-2)$; ramiona są skierowane w górę. Miejsca zerowe to $0$ i $4$.

d)

$$f(x)=-\frac12(x^2+4x)+1 =-\frac12(x+2)^2+3.$$

Wierzchołek: $(-2,3)$; ramiona są skierowane w dół. Miejsca zerowe to $-2-\sqrt6$ i $-2+\sqrt6$.

e)

$$f(x)=2(x^2+2x)-1=2(x+1)^2-3.$$

Wierzchołek: $(-1,-3)$; ramiona są skierowane w górę. Miejsca zerowe to $-1-\frac{\sqrt6}{2}$ i $-1+\frac{\sqrt6}{2}$.

f)

$$f(x)=-2(x^2-6x)-14=-2(x-3)^2+4.$$

Wierzchołek: $(3,4)$; ramiona są skierowane w dół. Miejsca zerowe to $3-\sqrt2$ i $3+\sqrt2$.

Szkic każdej paraboli otrzymujemy przez przesunięcie wykresu $y=ax^2$ do podanego wierzchołka; oś symetrii przechodzi pionowo przez wierzchołek.

Zapisujemy $g(x)=a(x-p)^2+q$. Wektor przesunięcia wykresu $f(x)=ax^2$ ma wtedy współrzędne $[p,q]$.

a)

$$g(x)=3(x^2-2x)+5=3(x-1)^2+2,$$

więc wektor to $[1,2]$.

b)

$$g(x)=4(x^2+6x)=4(x+3)^2-36,$$

więc wektor to $[-3,-36]$.

c)

$$g(x)=\frac13(x^2-6x)+4=\frac13(x-3)^2+1,$$

więc wektor to $[3,1]$.

d)

$$g(x)=\frac14(x^2+x)-1 =\frac14\left(x+\frac12\right)^2-\frac{17}{16},$$

więc wektor to $\left[-\frac12,-\frac{17}{16}\right]$.