Przejdź do treści
KorepetytorAI
Zaloguj się
Cała strona · Podręcznik · szkoła średnia

NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 201

rozdział 4. Trygonometria · temat „4.6. Funkcje trygonometryczne kąta wypukłego” · 6 zadań z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Zadanie 4

3 podpunkty

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

a)

sin⁡120∘+sin⁡60∘=32+32=3.\sin120^\circ+\sin60^\circ =\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt3}{2}=\sqrt3.

b)

sin⁡135∘⋅sin⁡150∘=22⋅12=24.\sin135^\circ\cdot\sin150^\circ =\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12=\frac{\sqrt2}{4}.

c)

4cos⁡150∘−3tg⁡135∘=4(−32)−3(−1)=3−23.4\cos150^\circ-3\operatorname{tg}135^\circ =4\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)-3(-1) =3-2\sqrt3.
Odpowiedź

a) 3\sqrt3; b) 24\frac{\sqrt2}{4}; c) 3−233-2\sqrt3.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 5

6 podpunktów

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Podstawiamy dokładne wartości funkcji kątów szczególnych.

a)

32−(−32)3(−33)=−1.\frac{\frac{\sqrt3}{2}-\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)} {3\left(-\frac{\sqrt3}{3}\right)}=-1.

b)

−3−3232=−3.\frac{-\sqrt3-\frac{\sqrt3}{2}}{\frac{\sqrt3}{2}}=-3.

c)

−33−(−3)−12=−433.\frac{-\frac{\sqrt3}{3}-(-\sqrt3)}{-\frac12} =-\frac{4\sqrt3}{3}.

d)

−1+2222(−22)=2−2.\frac{-1+\frac{\sqrt2}{2}} {\frac{\sqrt2}{2}\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)} =2-\sqrt2.

e)

−22−3232+22=−1.\frac{-\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt3}{2}} {\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt2}{2}}=-1.

f)

−3−32−32+12=−331−3=32(3+3).\frac{-\sqrt3-\frac{\sqrt3}{2}} {-\frac{\sqrt3}{2}+\frac12} =\frac{-3\sqrt3}{1-\sqrt3} =\frac32(3+\sqrt3).
Odpowiedź

a) −1-1;
b) −3-3;
c) −433-\frac{4\sqrt3}{3};
d) 2−22-\sqrt2;
e) −1-1;
f) 32(3+3)\frac32(3+\sqrt3).

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 6

6 podpunktów

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Sprowadzamy każdy kąt rozwarty do kąta ostrego i odczytujemy wartość z tablic.

a)

sin⁡105∘=sin⁡75∘≈0,9659.\sin105^\circ=\sin75^\circ\approx0{,}9659.

b)

sin⁡165∘=sin⁡15∘≈0,2588.\sin165^\circ=\sin15^\circ\approx0{,}2588.

c)

cos⁡130∘=−cos⁡50∘≈−0,6428.\cos130^\circ=-\cos50^\circ\approx-0{,}6428.

d)

cos⁡175∘=−cos⁡5∘≈−0,9962.\cos175^\circ=-\cos5^\circ\approx-0{,}9962.

e)

tg⁡142∘=−tg⁡38∘≈−0,7813.\operatorname{tg}142^\circ=-\operatorname{tg}38^\circ\approx-0{,}7813.

f)

tg⁡163∘=−tg⁡17∘≈−0,3057.\operatorname{tg}163^\circ=-\operatorname{tg}17^\circ\approx-0{,}3057.
Odpowiedź

a) 0,96590{,}9659;
b) 0,25880{,}2588;
c) −0,6428-0{,}6428;
d) −0,9962-0{,}9962;
e) −0,7813-0{,}7813;
f) −0,3057-0{,}3057.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 7

3 podpunkty

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Dla kąta rozwartego sinus jest dodatni, a tangens ujemny.

a)

sin⁡2α=1−116=1516,sin⁡α=154,tg⁡α=−15.\sin^2\alpha=1-\frac1{16}=\frac{15}{16},\qquad \sin\alpha=\frac{\sqrt{15}}4,\qquad \operatorname{tg}\alpha=-\sqrt{15}.

b)

sin⁡2α=1−49=59,sin⁡α=53,tg⁡α=−52.\sin^2\alpha=1-\frac49=\frac59,\qquad \sin\alpha=\frac{\sqrt5}{3},\qquad \operatorname{tg}\alpha=-\frac{\sqrt5}{2}.

c)

sin⁡2α=1−15=45,sin⁡α=255,tg⁡α=−2.\sin^2\alpha=1-\frac15=\frac45,\qquad \sin\alpha=\frac{2\sqrt5}{5},\qquad \operatorname{tg}\alpha=-2.
Odpowiedź

a) sin⁡2α=1516\sin^2\alpha=\frac{15}{16}, sin⁡α=154\sin\alpha=\frac{\sqrt{15}}4, tg⁡α=−15\operatorname{tg}\alpha=-\sqrt{15};
b) sin⁡2α=59\sin^2\alpha=\frac59, sin⁡α=53\sin\alpha=\frac{\sqrt5}{3}, tg⁡α=−52\operatorname{tg}\alpha=-\frac{\sqrt5}{2};
c) sin⁡2α=45\sin^2\alpha=\frac45, sin⁡α=255\sin\alpha=\frac{2\sqrt5}{5}, tg⁡α=−2\operatorname{tg}\alpha=-2.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 8

3 podpunkty

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Dla kąta rozwartego cosinus jest ujemny.

a)

cos⁡2α=1−19=89,cos⁡α=−223,tg⁡α=−24.\cos^2\alpha=1-\frac19=\frac89,\qquad \cos\alpha=-\frac{2\sqrt2}{3},\qquad \operatorname{tg}\alpha=-\frac{\sqrt2}{4}.

b)

cos⁡2α=1−916=716,cos⁡α=−74,tg⁡α=−377.\cos^2\alpha=1-\frac9{16}=\frac7{16},\qquad \cos\alpha=-\frac{\sqrt7}{4},\qquad \operatorname{tg}\alpha=-\frac{3\sqrt7}{7}.

c)

cos⁡2α=1−59=49,cos⁡α=−23,tg⁡α=−52.\cos^2\alpha=1-\frac59=\frac49,\qquad \cos\alpha=-\frac23,\qquad \operatorname{tg}\alpha=-\frac{\sqrt5}{2}.
Odpowiedź

a) cos⁡2α=89\cos^2\alpha=\frac89, cos⁡α=−223\cos\alpha=-\frac{2\sqrt2}{3}, tg⁡α=−24\operatorname{tg}\alpha=-\frac{\sqrt2}{4};
b) cos⁡2α=716\cos^2\alpha=\frac7{16}, cos⁡α=−74\cos\alpha=-\frac{\sqrt7}{4}, tg⁡α=−377\operatorname{tg}\alpha=-\frac{3\sqrt7}{7};
c) cos⁡2α=49\cos^2\alpha=\frac49, cos⁡α=−23\cos\alpha=-\frac23, tg⁡α=−52\operatorname{tg}\alpha=-\frac{\sqrt5}{2}.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 9

3 podpunkty

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Tangens jest ujemny, a α∈[0∘;180∘]\alpha\in[0^\circ;180^\circ], więc ramię końcowe leży w II ćwiartce. Dobieramy punkt o ujemnej współrzędnej xx i dodatniej yy.

a) Dla P=(−3,2)P=(-3,2) mamy r=13r=\sqrt{13}, zatem

sin⁡α=21313,cos⁡α=−31313.\sin\alpha=\frac{2\sqrt{13}}{13},\qquad \cos\alpha=-\frac{3\sqrt{13}}{13}.

b) Dla P=(−12,5)P=(-12,5) mamy r=13r=13, więc

sin⁡α=513,cos⁡α=−1213.\sin\alpha=\frac5{13},\qquad \cos\alpha=-\frac{12}{13}.

c) Dla P=(−5,12)P=(-5,12) mamy r=13r=13, stąd

sin⁡α=1213,cos⁡α=−513.\sin\alpha=\frac{12}{13},\qquad \cos\alpha=-\frac5{13}.
Odpowiedź

a) sin⁡α=21313\sin\alpha=\frac{2\sqrt{13}}{13}, cos⁡α=−31313\cos\alpha=-\frac{3\sqrt{13}}{13};
b) sin⁡α=513\sin\alpha=\frac5{13}, cos⁡α=−1213\cos\alpha=-\frac{12}{13};
c) sin⁡α=1213\sin\alpha=\frac{12}{13}, cos⁡α=−513\cos\alpha=-\frac5{13}.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem