Przejdź do treści
KorepetytorAI
Zaloguj się
Cała strona · Podręcznik · szkoła średnia

NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 200

rozdział 4. Trygonometria · temat „4.6. Funkcje trygonometryczne kąta wypukłego” · 7 zadań z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Zadanie 1

3 podpunkty

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Ze skanu strony odczytujemy, że AA leży na dodatniej półosi OXOX, a

P=(−1,4),Q=(−2,1),R=(−4,5).P=(-1,4),\qquad Q=(-2,1),\qquad R=(-4,5).

a) Dla punktu PP mamy r=17r=\sqrt{17}, więc

sin⁡∣∠AOP∣=417=41717,\sin|\angle AOP|=\frac4{\sqrt{17}}=\frac{4\sqrt{17}}{17}, cos⁡∣∠AOP∣=−117=−1717,tg⁡∣∠AOP∣=−4.\cos|\angle AOP|=-\frac1{\sqrt{17}}=-\frac{\sqrt{17}}{17},\qquad \operatorname{tg}|\angle AOP|=-4.

b) Dla punktu QQ mamy r=5r=\sqrt5, zatem

sin⁡∣∠AOQ∣=55,cos⁡∣∠AOQ∣=−255,tg⁡∣∠AOQ∣=−12.\sin|\angle AOQ|=\frac{\sqrt5}{5},\qquad \cos|\angle AOQ|=-\frac{2\sqrt5}{5},\qquad \operatorname{tg}|\angle AOQ|=-\frac12.

c) Dla punktu RR mamy r=41r=\sqrt{41}, więc

sin⁡∣∠AOR∣=54141,cos⁡∣∠AOR∣=−44141,tg⁡∣∠AOR∣=−54.\sin|\angle AOR|=\frac{5\sqrt{41}}{41},\qquad \cos|\angle AOR|=-\frac{4\sqrt{41}}{41},\qquad \operatorname{tg}|\angle AOR|=-\frac54.
Odpowiedź

a) sin⁡∣∠AOP∣=41717\sin|\angle AOP|=\frac{4\sqrt{17}}{17}, cos⁡∣∠AOP∣=−1717\cos|\angle AOP|=-\frac{\sqrt{17}}{17}, tg⁡∣∠AOP∣=−4\operatorname{tg}|\angle AOP|=-4;
b) sin⁡∣∠AOQ∣=55\sin|\angle AOQ|=\frac{\sqrt5}{5}, cos⁡∣∠AOQ∣=−255\cos|\angle AOQ|=-\frac{2\sqrt5}{5}, tg⁡∣∠AOQ∣=−12\operatorname{tg}|\angle AOQ|=-\frac12;
c) sin⁡∣∠AOR∣=54141\sin|\angle AOR|=\frac{5\sqrt{41}}{41}, cos⁡∣∠AOR∣=−44141\cos|\angle AOR|=-\frac{4\sqrt{41}}{41}, tg⁡∣∠AOR∣=−54\operatorname{tg}|\angle AOR|=-\frac54.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 2

2 podpunkty

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

a)

sin⁡α=4(−2)2+42=255,sin⁡β=242+22=55.\sin\alpha=\frac4{\sqrt{(-2)^2+4^2}}=\frac{2\sqrt5}{5},\qquad \sin\beta=\frac2{\sqrt{4^2+2^2}}=\frac{\sqrt5}{5}.

Zatem

sin⁡α−sin⁡β=55.\sin\alpha-\sin\beta=\frac{\sqrt5}{5}.

b)

sin⁡α=3(−9)2+32=1010,\sin\alpha=\frac3{\sqrt{(-9)^2+3^2}}=\frac{\sqrt{10}}{10}, sin⁡β=622+62=31010.\sin\beta=\frac6{\sqrt{2^2+6^2}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}.

Stąd

sin⁡α−sin⁡β=−105.\sin\alpha-\sin\beta=-\frac{\sqrt{10}}5.
Odpowiedź

a) 55\frac{\sqrt5}{5};
b) −105-\frac{\sqrt{10}}5.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 3

3 podpunkty

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

a)

cos⁡α=310=31010,cos⁡β=−11+1/4=−255.\cos\alpha=\frac3{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10},\qquad \cos\beta=\frac{-1}{\sqrt{1+1/4}}=-\frac{2\sqrt5}{5}.

Zatem

cos⁡α+cos⁡β=310−4510.\cos\alpha+\cos\beta =\frac{3\sqrt{10}-4\sqrt5}{10}.

b)

cos⁡α=−220=−55,cos⁡β=−420=−255,\cos\alpha=-\frac2{\sqrt{20}}=-\frac{\sqrt5}{5},\qquad \cos\beta=-\frac4{\sqrt{20}}=-\frac{2\sqrt5}{5},

więc suma jest równa −355-\frac{3\sqrt5}{5}.

c)

cos⁡α=−24+2=−63,\cos\alpha=-\frac2{\sqrt{4+2}}=-\frac{\sqrt6}{3}, cos⁡β=2/21/2+1=33.\cos\beta=\frac{\sqrt2/2}{\sqrt{1/2+1}}=\frac{\sqrt3}{3}.

Stąd

cos⁡α+cos⁡β=3−63.\cos\alpha+\cos\beta=\frac{\sqrt3-\sqrt6}{3}.
Odpowiedź

a) 310−4510\frac{3\sqrt{10}-4\sqrt5}{10};
b) −355-\frac{3\sqrt5}{5};
c) 3−63\frac{\sqrt3-\sqrt6}{3}.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 6

2 podpunkty

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

a) Ponieważ 135∘=180∘−45∘135^\circ=180^\circ-45^\circ,

sin⁡135∘=22,cos⁡135∘=−22,tg⁡135∘=−1.\sin135^\circ=\frac{\sqrt2}{2},\qquad \cos135^\circ=-\frac{\sqrt2}{2},\qquad \operatorname{tg}135^\circ=-1.

b) Ponieważ 150∘=180∘−30∘150^\circ=180^\circ-30^\circ,

sin⁡150∘=12,cos⁡150∘=−32,tg⁡150∘=−33.\sin150^\circ=\frac12,\qquad \cos150^\circ=-\frac{\sqrt3}{2},\qquad \operatorname{tg}150^\circ=-\frac{\sqrt3}{3}.
Odpowiedź

a) sin⁡135∘=22\sin135^\circ=\frac{\sqrt2}{2}, cos⁡135∘=−22\cos135^\circ=-\frac{\sqrt2}{2}, tg⁡135∘=−1\operatorname{tg}135^\circ=-1;
b) sin⁡150∘=12\sin150^\circ=\frac12, cos⁡150∘=−32\cos150^\circ=-\frac{\sqrt3}{2}, tg⁡150∘=−33\operatorname{tg}150^\circ=-\frac{\sqrt3}{3}.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 7

2 podpunkty

brak w kluczu
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Niech punkt P(x,y)P(x,y) leży na ramieniu końcowym kąta i niech r=x2+y2>0r=\sqrt{x^2+y^2}>0.

a) Z definicji

sin⁡2α+cos⁡2α=y2r2+x2r2=x2+y2r2=1.\sin^2\alpha+\cos^2\alpha =\frac{y^2}{r^2}+\frac{x^2}{r^2} =\frac{x^2+y^2}{r^2}=1.

Dla x≠0x\ne0, czyli α≠90∘\alpha\ne90^\circ,

sin⁡αcos⁡α=y/rx/r=yx=tg⁡α.\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} =\frac{y/r}{x/r}=\frac yx=\operatorname{tg}\alpha.

b) Z nierówności x2≤x2+y2=r2x^2\le x^2+y^2=r^2 oraz y2≤x2+y2=r2y^2\le x^2+y^2=r^2 wynika

∣x∣≤r,∣y∣≤r.|x|\le r,\qquad |y|\le r.

Zatem −1≤x/r≤1-1\le x/r\le1 i −1≤y/r≤1-1\le y/r\le1, a w szczególności

cos⁡α≤1,sin⁡α≤1.\cos\alpha\le1,\qquad \sin\alpha\le1.
Odpowiedź

sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1 oraz tg⁡α=sin⁡αcos⁡α\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} dla α≠90∘\alpha\ne90^\circ; ponadto sin⁡α≤1\sin\alpha\le1 i cos⁡α≤1\cos\alpha\le1.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

Ćwiczenie 8

3 podpunkty

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Dla kąta z II ćwiartki cosinus jest ujemny.

a)

cos⁡2α=1−925=1625,cos⁡α=−45,tg⁡α=−34.\cos^2\alpha=1-\frac9{25}=\frac{16}{25},\qquad \cos\alpha=-\frac45,\qquad \operatorname{tg}\alpha=-\frac34.

b)

cos⁡2α=1−49=59,cos⁡α=−53,tg⁡α=−255.\cos^2\alpha=1-\frac49=\frac59,\qquad \cos\alpha=-\frac{\sqrt5}{3},\qquad \operatorname{tg}\alpha=-\frac{2\sqrt5}{5}.

c)

cos⁡2α=1−15=45,cos⁡α=−255,tg⁡α=−12.\cos^2\alpha=1-\frac15=\frac45,\qquad \cos\alpha=-\frac{2\sqrt5}{5},\qquad \operatorname{tg}\alpha=-\frac12.
Odpowiedź

a) cos⁡2α=1625\cos^2\alpha=\frac{16}{25}, cos⁡α=−45\cos\alpha=-\frac45, tg⁡α=−34\operatorname{tg}\alpha=-\frac34;
b) cos⁡2α=59\cos^2\alpha=\frac59, cos⁡α=−53\cos\alpha=-\frac{\sqrt5}{3}, tg⁡α=−255\operatorname{tg}\alpha=-\frac{2\sqrt5}{5};
c) cos⁡2α=45\cos^2\alpha=\frac45, cos⁡α=−255\cos\alpha=-\frac{2\sqrt5}{5}, tg⁡α=−12\operatorname{tg}\alpha=-\frac12.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 9

3 podpunkty

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Dla kąta z II ćwiartki sinus jest dodatni, a tangens ujemny.

a)

sin⁡2α=1−1625=925,sin⁡α=35,tg⁡α=−34.\sin^2\alpha=1-\frac{16}{25}=\frac9{25},\qquad \sin\alpha=\frac35,\qquad \operatorname{tg}\alpha=-\frac34.

b)

sin⁡2α=1−19=89,sin⁡α=223,tg⁡α=−22.\sin^2\alpha=1-\frac19=\frac89,\qquad \sin\alpha=\frac{2\sqrt2}{3},\qquad \operatorname{tg}\alpha=-2\sqrt2.

c)

sin⁡2α=1−110=910,sin⁡α=31010,tg⁡α=−3.\sin^2\alpha=1-\frac1{10}=\frac9{10},\qquad \sin\alpha=\frac{3\sqrt{10}}{10},\qquad \operatorname{tg}\alpha=-3.
Odpowiedź

a) sin⁡2α=925\sin^2\alpha=\frac9{25}, sin⁡α=35\sin\alpha=\frac35, tg⁡α=−34\operatorname{tg}\alpha=-\frac34;
b) sin⁡2α=89\sin^2\alpha=\frac89, sin⁡α=223\sin\alpha=\frac{2\sqrt2}{3}, tg⁡α=−22\operatorname{tg}\alpha=-2\sqrt2;
c) sin⁡2α=910\sin^2\alpha=\frac9{10}, sin⁡α=31010\sin\alpha=\frac{3\sqrt{10}}{10}, tg⁡α=−3\operatorname{tg}\alpha=-3.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem