NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 19

a) Podstawiamy $t=x^3$, gdzie $t\in\mathbb R$:

$$t^2-9t+8=(t-1)(t-8)=0.$$

Stąd $t=1$ lub $t=8$, czyli

$$x^3=1\quad\text{lub}\quad x^3=8.$$

Zatem $x=1$ lub $x=2$.

b) Ponownie przyjmujemy $t=x^3$:

$$t^2-7t-8=(t-8)(t+1)=0.$$

Otrzymujemy $t=8$ lub $t=-1$, więc $x=2$ lub $x=-1$.

c) Podstawiamy $t=x^4$, gdzie $t\geqslant0$:

$$t^2-15t-16=(t-16)(t+1)=0.$$

Wartość $t=-1$ odrzucamy. Pozostaje $x^4=16$, zatem $x=-2$ lub $x=2$.

Podstawiamy $t=|x|$, gdzie $t\geqslant0$. Wtedy $x^2=|x|^2=t^2$.

a)

$$t^2-4t+4=(t-2)^2=0.$$

Stąd $t=2$, więc

$$|x|=2\iff x=-2\quad\text{lub}\quad x=2.$$

b)

$$t^2-7t+10=(t-2)(t-5)=0.$$

Obie wartości są nieujemne. Zatem $|x|=2$ lub $|x|=5$, czyli

$$x\in\{-5,-2,2,5\}.$$

c)

$$t^2-5t-6=(t-6)(t+1)=0.$$

Otrzymujemy $t=6$ lub $t=-1$. Wartość ujemną odrzucamy, więc

$$|x|=6\iff x=-6\quad\text{lub}\quad x=6.$$

Zakładamy $x\geqslant0$ i podstawiamy $t=\sqrt{x}$, gdzie $t\geqslant0$. Wtedy $x=t^2$.

a)

$$t^2+t-6=(t+3)(t-2)=0.$$

Odrzucamy $t=-3$. Dla $t=2$ mamy $\sqrt{x}=2$, czyli $x=4$.

b)

$$t^2+5t+6=(t+2)(t+3)=0.$$

Oba rozwiązania pomocnicze są ujemne, więc równanie nie ma rozwiązań.

c)

$$6t^2-t-1=(3t+1)(2t-1)=0.$$

Otrzymujemy $t=-\frac13$ lub $t=\frac12$. Odrzucamy wartość ujemną. Dla $t=\frac12$ mamy $\sqrt{x}=\frac12$, czyli $x=\frac14$.