Przejdź do treści
KorepetytorAI
Zaloguj się
Cała strona · Podręcznik · szkoła średnia

NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 198

rozdział 4. Trygonometria · temat „4.6. Funkcje trygonometryczne kąta wypukłego” · 2 zadania z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Ćwiczenie 3

3 podpunkty

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Dla punktu (x,y)(x,y) z ramienia końcowego używamy

r=x2+y2,sin⁡α=yr,cos⁡α=xr,tg⁡α=yx.r=\sqrt{x^2+y^2},\qquad \sin\alpha=\frac yr,\qquad \cos\alpha=\frac xr,\qquad \operatorname{tg}\alpha=\frac yx.

a) Wybieramy P(−4,3)P(-4,3). Wtedy r=5r=5, zatem

sin⁡α=35,cos⁡α=−45,tg⁡α=−34.\sin\alpha=\frac35,\qquad \cos\alpha=-\frac45,\qquad \operatorname{tg}\alpha=-\frac34.

b) Wybieramy P(−3,3)P(-3,3). Wtedy r=32r=3\sqrt2, więc

sin⁡α=22,cos⁡α=−22,tg⁡α=−1.\sin\alpha=\frac{\sqrt2}{2},\qquad \cos\alpha=-\frac{\sqrt2}{2},\qquad \operatorname{tg}\alpha=-1.

c) Wybieramy Q(−2,6)Q(-2,6). Wtedy r=210r=2\sqrt{10}, stąd

sin⁡α=31010,cos⁡α=−1010,tg⁡α=−3.\sin\alpha=\frac{3\sqrt{10}}{10},\qquad \cos\alpha=-\frac{\sqrt{10}}{10},\qquad \operatorname{tg}\alpha=-3.
Odpowiedź

a) sin⁡α=35\sin\alpha=\frac35, cos⁡α=−45\cos\alpha=-\frac45, tg⁡α=−34\operatorname{tg}\alpha=-\frac34;
b) sin⁡α=22\sin\alpha=\frac{\sqrt2}{2}, cos⁡α=−22\cos\alpha=-\frac{\sqrt2}{2}, tg⁡α=−1\operatorname{tg}\alpha=-1;
c) sin⁡α=31010\sin\alpha=\frac{3\sqrt{10}}{10}, cos⁡α=−1010\cos\alpha=-\frac{\sqrt{10}}{10}, tg⁡α=−3\operatorname{tg}\alpha=-3.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 4

3 podpunkty

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

a) Dla 0∘0^\circ wybieramy punkt (1,0)(1,0). Wtedy r=1r=1, więc

sin⁡0∘=0,cos⁡0∘=1,tg⁡0∘=0.\sin0^\circ=0,\qquad \cos0^\circ=1,\qquad \operatorname{tg}0^\circ=0.

b) Dla 90∘90^\circ wybieramy punkt (0,1)(0,1). Otrzymujemy

sin⁡90∘=1,cos⁡90∘=0.\sin90^\circ=1,\qquad \cos90^\circ=0.

Tangens nie jest określony, ponieważ jego definicja wymaga dzielenia przez współrzędną x=0x=0.

c) Dla 180∘180^\circ wybieramy punkt (−1,0)(-1,0). Wtedy

sin⁡180∘=0,cos⁡180∘=−1,tg⁡180∘=0.\sin180^\circ=0,\qquad \cos180^\circ=-1,\qquad \operatorname{tg}180^\circ=0.
Odpowiedź

a) sin⁡0∘=0\sin0^\circ=0, cos⁡0∘=1\cos0^\circ=1, tg⁡0∘=0\operatorname{tg}0^\circ=0;
b) sin⁡90∘=1\sin90^\circ=1, cos⁡90∘=0\cos90^\circ=0; tangens nie jest określony;
c) sin⁡180∘=0\sin180^\circ=0, cos⁡180∘=−1\cos180^\circ=-1, tg⁡180∘=0\operatorname{tg}180^\circ=0.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem