NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 195

a) Dla kąta przy $A$ sinus jest równy $BC/AB=5/13$. Odpowiada to trójce boków $5$, $12$, $13$. Ponieważ $AC=12$, mamy

$$BC=5,\qquad AB=13,\qquad Ob=5+12+13=30.$$

b) Mamy $\sin B=AC/AB=1/\sqrt5$. Ponieważ $AC=4$,

$$AB=4\sqrt5,\qquad BC=\sqrt{(4\sqrt5)^2-4^2}=8.$$

Zatem

$$Ob=4+8+4\sqrt5=4(\sqrt5+3).$$

c) Z jedynki trygonometrycznej

$$\cos B=\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt6}{3}\right)^2} =\frac{\sqrt3}{3}.$$

Ponieważ $\cos B=BC/AB$ i $BC=\sqrt3$, otrzymujemy $AB=3$, a następnie

$$AC=AB\sin B=\sqrt6.$$

Stąd $Ob=\sqrt6+\sqrt3+3$.

d) Dane $\cos A=3/\sqrt{13}$ odpowiadają bokom w stosunku $AC:BC:AB=3:2:\sqrt{13}$. Ponieważ $BC=6$, skala wynosi $3$, więc

$$AC=9,\qquad AB=3\sqrt{13},\qquad Ob=15+3\sqrt{13}=3(\sqrt{13}+5).$$

Korzystamy z zależności

$$\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha,\qquad \cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha,\qquad \operatorname{tg}(90^\circ-\alpha)=\frac1{\operatorname{tg}\alpha}.$$

a) Dane dają $\sin\alpha=\frac{\sqrt3}{2}$ i $\cos\alpha=\frac12$. Ponieważ $\frac34+\frac14=1$, taki kąt istnieje.

b) Musiałoby zachodzić $\sin\alpha=\frac25$ i $\cos\alpha=\frac35$, ale

$$\frac4{25}+\frac9{25}=\frac{13}{25}\ne1.$$

Taki kąt nie istnieje.

c) Mamy $\cos\alpha=\frac{\sqrt5}{5}$ i $\sin\alpha=\frac{2\sqrt5}{5}$. Suma ich kwadratów jest równa $\frac15+\frac45=1$, więc taki kąt istnieje.

d)

$$\frac1{\operatorname{tg}\alpha}=\frac1{\sqrt2} =\frac{\sqrt2}{2},$$

więc warunki są zgodne i taki kąt istnieje.

Ponieważ kąt jest ostry i $\cos\alpha=m$, mamy

$$\sin\alpha=\sqrt{1-m^2}.$$

a)

$$(1-\sin\alpha)(1+\sin\alpha) =1-\sin^2\alpha=\cos^2\alpha=m^2.$$

b)

$$(\sin\alpha-\cos\alpha)(\sin\alpha+\cos\alpha) =\sin^2\alpha-\cos^2\alpha=1-2m^2.$$

c)

$$(\sin\alpha+\cos\alpha)^2 =1+2\sin\alpha\cos\alpha =1+2m\sqrt{1-m^2}.$$

d) Korzystamy z $\operatorname{tg}\alpha=\sin\alpha/\cos\alpha$ i $\operatorname{tg}(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha/\sin\alpha$:

$$\cos\alpha\operatorname{tg}\alpha +\sin\alpha\operatorname{tg}(90^\circ-\alpha) =\sin\alpha+\cos\alpha =\sqrt{1-m^2}+m.$$

Najpierw dowodzimy tożsamości:

$$1+\operatorname{tg}^2\alpha =1+\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} =\frac{\cos^2\alpha+\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} =\frac1{\cos^2\alpha}.$$

Kąt jest ostry, więc w dalszych obliczeniach wybieramy dodatnie pierwiastki.

a)

$$\cos^2\alpha=\frac1{1+(1/2)^2}=\frac45,\qquad \cos\alpha=\frac{2\sqrt5}{5}.$$ $$\sin\alpha=\operatorname{tg}\alpha\cos\alpha =\frac12\cdot\frac{2\sqrt5}{5}=\frac{\sqrt5}{5}.$$

b)

$$\cos^2\alpha=\frac1{1+(2/3)^2}=\frac9{13},\qquad \cos\alpha=\frac{3\sqrt{13}}{13},\qquad \sin\alpha=\frac{2\sqrt{13}}{13}.$$

c)

$$\cos^2\alpha=\frac1{1+5}=\frac16,\qquad \cos\alpha=\frac{\sqrt6}{6},\qquad \sin\alpha=\sqrt5\cdot\frac{\sqrt6}{6}=\frac{\sqrt{30}}6.$$

Oznaczmy $s=\sin\alpha$ i $c=\cos\alpha$. Z warunku $s+c=1{,}4$:

$$(s+c)^2=s^2+2sc+c^2=1+2sc=1{,}96.$$

a) Stąd

$$sc=\frac{1{,}96-1}{2}=0{,}48.$$

b)

$$(s-c)^2=s^2-2sc+c^2=1-0{,}96=0{,}04,$$

więc $s-c=-0{,}2$ lub $s-c=0{,}2$. Warunek nie rozstrzyga, która z funkcji ma większą wartość.

c) Korzystamy z różnicy sześcianów:

$$s^3-c^3=(s-c)(s^2+sc+c^2)=(s-c)(1+0{,}48).$$

Zatem

$$s^3-c^3=-0{,}296\quad\text{lub}\quad0{,}296.$$

W każdym podpunkcie korzystamy z jedynki trygonometrycznej.

a)

$$(1+\cos\alpha)(1-\cos\alpha) =1-\cos^2\alpha=\sin^2\alpha.$$

b)

$$(1+\sin\alpha)(1-\sin\alpha) =1-\sin^2\alpha=\cos^2\alpha.$$

c) Ponieważ $\sin\alpha+\cos\alpha>0$,

$$\frac{1-2\cos^2\alpha}{\sin\alpha+\cos\alpha} =\frac{\sin^2\alpha-\cos^2\alpha} {\sin\alpha+\cos\alpha} =\sin\alpha-\cos\alpha.$$

d)

$$\cos^4\alpha-\sin^4\alpha =(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha) (\cos^2\alpha+\sin^2\alpha) =\cos^2\alpha-\sin^2\alpha.$$

e)

$$\cos^4\alpha+\sin^4\alpha =(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)^2 -2\sin^2\alpha\cos^2\alpha =1-2\sin^2\alpha\cos^2\alpha.$$

f) Dla kąta ostrego sinus i cosinus są niezerowe. Ponadto

$$\sin^4\alpha-\sin^2\alpha =\sin^2\alpha(\sin^2\alpha-1) =-\sin^2\alpha\cos^2\alpha,$$ $$\cos^4\alpha-\cos^2\alpha =\cos^2\alpha(\cos^2\alpha-1) =-\cos^2\alpha\sin^2\alpha.$$

Licznik i mianownik są równe i niezerowe, więc ich iloraz jest równy $1$.