NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 194

Kąt jest ostry, więc wszystkie wartości są dodatnie.

a) $\cos\alpha=0{,}8=\frac45$, zatem

$$\sin\alpha=\frac35,\qquad \operatorname{tg}\alpha=\frac34.$$

b)

$$\sin\alpha=\sqrt{1-\frac9{25}}=\frac45,\qquad \operatorname{tg}\alpha=\frac43.$$

c)

$$\cos\alpha=\sqrt{1-\frac1{16}}=\frac{\sqrt{15}}4,\qquad \operatorname{tg}\alpha=\frac{\sqrt{15}}{15}.$$

d) $\sin\alpha=0{,}4=\frac25$, więc

$$\cos\alpha=\frac{\sqrt{21}}5,\qquad \operatorname{tg}\alpha=\frac{2\sqrt{21}}{21}.$$

e)

$$\sin\alpha=\sqrt{1-\frac{13}{49}}=\frac67,\qquad \operatorname{tg}\alpha=\frac{6\sqrt{13}}{13}.$$

f) Tangens $\frac32$ odpowiada przyprostokątnym $3$ i $2$ oraz przeciwprostokątnej $\sqrt{13}$, zatem

$$\sin\alpha=\frac{3\sqrt{13}}{13},\qquad \cos\alpha=\frac{2\sqrt{13}}{13}.$$

g) $2\frac25=\frac{12}{5}$. Przyprostokątne $12$ i $5$ mają przeciwprostokątną $13$, więc

$$\sin\alpha=\frac{12}{13},\qquad \cos\alpha=\frac5{13}.$$

h) Przyprostokątne $4$ i $5$ mają przeciwprostokątną $\sqrt{41}$, stąd

$$\sin\alpha=\frac{4\sqrt{41}}{41},\qquad \cos\alpha=\frac{5\sqrt{41}}{41}.$$

a) Podstawiamy $\sin\alpha=3\cos\alpha$ do jedynki trygonometrycznej:

$$9\cos^2\alpha+\cos^2\alpha=1,\qquad \cos\alpha=\frac1{\sqrt{10}}.$$

Kąt jest ostry, więc wybieramy dodatni pierwiastek. Zatem

$$\sin\alpha=\frac3{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}.$$

b) Podstawiamy $\cos\alpha=2\sin\alpha$:

$$\sin^2\alpha+4\sin^2\alpha=1,\qquad \sin\alpha=\frac1{\sqrt5}.$$

Stąd

$$\cos\alpha=\frac2{\sqrt5}=\frac{2\sqrt5}{5}.$$

a)

$$\left(\frac{2\sqrt2}{3}\right)^2+\left(\frac13\right)^2 =\frac89+\frac19=1.$$

Obie wartości są dodatnie, więc taki kąt ostry istnieje.

b) Z podanych wartości musiałoby być

$$\sin\alpha=\operatorname{tg}\alpha\cos\alpha =\frac{2\sqrt6}{25}.$$

Jednak

$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha =\frac{24}{625}+\frac1{25}=\frac{49}{625}\ne1,$$

więc taki kąt nie istnieje.

c) Z zależności $\operatorname{tg}\alpha=\sin\alpha/\cos\alpha$ wynikałoby

$$\cos\alpha=\frac{\sqrt{10}/5}{4/5}=\frac{\sqrt{10}}4.$$

Wówczas

$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=\frac25+\frac58=\frac{41}{40}\ne1.$$

Taki kąt nie istnieje.

d) Podane wartości wyznaczają

$$\sin\alpha=\operatorname{tg}\alpha\cos\alpha =\frac{\sqrt5}{3}.$$

Ponieważ

$$\frac59+\frac49=1,$$

a obie wartości są dodatnie, taki kąt ostry istnieje.

a) Tangens $\frac12$ oznacza, że przyprostokątne są w stosunku $1:2$. Oznaczmy je przez $k$ i $2k$. Wtedy przeciwprostokątna ma długość $k\sqrt5$, więc

$$k\sqrt5=10,\qquad k=2\sqrt5.$$

Przyprostokątne mają długości $2\sqrt5$ cm i $4\sqrt5$ cm.

b) Tangens $\frac32$ daje stosunek przyprostokątnych $3:2$. Dla długości $3k$ i $2k$ przeciwprostokątna ma długość $k\sqrt{13}$, zatem

$$k\sqrt{13}=39,\qquad k=3\sqrt{13}.$$

Przyprostokątne mają długości $9\sqrt{13}$ cm i $6\sqrt{13}$ cm.

Niech $\beta=90^\circ-\alpha$. W trójkącie prostokątnym oznaczmy przez $a$ bok naprzeciwko kąta $\alpha$, przez $b$ drugą przyprostokątną, a przez $c$ przeciwprostokątną.

Dla drugiej tożsamości mamy

$$\cos(90^\circ-\alpha)=\cos\beta=\frac ac=\sin\alpha.$$

Dla trzeciej tożsamości

$$\operatorname{tg}(90^\circ-\alpha)=\operatorname{tg}\beta =\frac ba =\frac1{a/b} =\frac1{\operatorname{tg}\alpha}.$$

Obie równości wynikają bezpośrednio z definicji funkcji trygonometrycznych.

Ponieważ

$$\operatorname{tg}\alpha=\frac{2\sqrt5}{5}=\frac2{\sqrt5},$$

możemy przyjąć przyprostokątne $2$ i $\sqrt5$. Przeciwprostokątna ma wtedy długość $3$, więc

$$\sin\alpha=\frac23,\qquad \cos\alpha=\frac{\sqrt5}{3}.$$

a)

$$\frac{6\sin\alpha-8\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} =\frac{6\cdot\frac23-8\cdot\frac59}{\frac49} =\frac{-\frac49}{\frac49}=-1.$$

b) Licznik jest kwadratem:

$$\sin^4\alpha-2\sin^2\alpha+1=(1-\sin^2\alpha)^2=\cos^4\alpha.$$

Ponieważ $1-\sin^2\alpha=\cos^2\alpha$, otrzymujemy

$$\frac{\cos^4\alpha}{\cos^2\alpha}=\cos^2\alpha=\frac59.$$

a) Z tożsamości dla kątów dopełniających

$$\cos\alpha=\sin(90^\circ-\alpha)=\frac3{10}.$$

Z jedynki trygonometrycznej

$$\sin\alpha=\sqrt{1-\frac9{100}}=\frac{\sqrt{91}}{10},\qquad \operatorname{tg}\alpha=\frac{\sqrt{91}}3.$$

b)

$$\sin\alpha=\cos(90^\circ-\alpha)=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Stąd

$$\cos\alpha=\frac12,\qquad \operatorname{tg}\alpha=\sqrt3.$$

c)

$$\frac1{\operatorname{tg}\alpha} =\operatorname{tg}(90^\circ-\alpha)=\frac35,$$

więc $\operatorname{tg}\alpha=\frac53$. Możemy przyjąć przyprostokątne $5$ i $3$, a wtedy przeciwprostokątna ma długość $\sqrt{34}$. Zatem

$$\sin\alpha=\frac{5\sqrt{34}}{34},\qquad \cos\alpha=\frac{3\sqrt{34}}{34}.$$