Przejdź do treści
KorepetytorAI
Zaloguj się
Cała strona · Podręcznik · szkoła średnia

NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 193

rozdział 4. Trygonometria · temat „4.5. Związki między funkcjami trygonometrycznymi kąta ostrego” · 3 zadania z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Ćwiczenie 2

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Z jedynki trygonometrycznej

sin⁡2α=1−cos⁡2α=1−(74)2=916.\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha =1-\left(\frac{\sqrt7}{4}\right)^2 =\frac9{16}.

Kąt α\alpha jest ostry, więc jego sinus jest dodatni. Zatem

sin⁡α=34.\sin\alpha=\frac34.
Odpowiedź

sin⁡α=34\sin\alpha=\dfrac34.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 3

3 podpunkty

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Wszystkie wartości są dodatnie, ponieważ α\alpha jest kątem ostrym.

a) Mamy sin⁡α=0,8=45\sin\alpha=0{,}8=\frac45, więc

cos⁡α=1−1625=35,tg⁡α=4/53/5=43.\cos\alpha=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\frac35,\qquad \operatorname{tg}\alpha=\frac{4/5}{3/5}=\frac43.

b)

sin⁡α=1−144169=513,tg⁡α=5/1312/13=512.\sin\alpha=\sqrt{1-\frac{144}{169}}=\frac5{13},\qquad \operatorname{tg}\alpha=\frac{5/13}{12/13}=\frac5{12}.

c)

sin⁡α=1−116=154,tg⁡α=15/41/4=15.\sin\alpha=\sqrt{1-\frac1{16}}=\frac{\sqrt{15}}4,\qquad \operatorname{tg}\alpha=\frac{\sqrt{15}/4}{1/4}=\sqrt{15}.
Odpowiedź

a) cos⁡α=35\cos\alpha=\frac35, tg⁡α=43\operatorname{tg}\alpha=\frac43;
b) sin⁡α=513\sin\alpha=\frac5{13}, tg⁡α=512\operatorname{tg}\alpha=\frac5{12};
c) sin⁡α=154\sin\alpha=\frac{\sqrt{15}}4, tg⁡α=15\operatorname{tg}\alpha=\sqrt{15}.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 4

8 podpunktów

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Dla każdego podpunktu dobieramy przyprostokątne zgodne z podanym ilorazem i obliczamy przeciwprostokątną z twierdzenia Pitagorasa.

a) Przyprostokątne 22 i 11, przeciwprostokątna 5\sqrt5:

sin⁡α=255,cos⁡α=55.\sin\alpha=\frac{2\sqrt5}{5},\qquad \cos\alpha=\frac{\sqrt5}{5}.

b) Przyprostokątne 2\sqrt2 i 22, przeciwprostokątna 6\sqrt6:

sin⁡α=33,cos⁡α=63.\sin\alpha=\frac{\sqrt3}{3},\qquad \cos\alpha=\frac{\sqrt6}{3}.

c) Przyprostokątne 2121 i 2020, przeciwprostokątna 2929:

sin⁡α=2129,cos⁡α=2029.\sin\alpha=\frac{21}{29},\qquad \cos\alpha=\frac{20}{29}.

d) Przyprostokątne 2\sqrt2 i 11, przeciwprostokątna 3\sqrt3:

sin⁡α=63,cos⁡α=33.\sin\alpha=\frac{\sqrt6}{3},\qquad \cos\alpha=\frac{\sqrt3}{3}.

e) Skoro sin⁡α=23\sin\alpha=\frac23, możemy przyjąć boki 22, 5\sqrt5, 33:

cos⁡α=53,tg⁡α=255.\cos\alpha=\frac{\sqrt5}{3},\qquad \operatorname{tg}\alpha=\frac{2\sqrt5}{5}.

f) Dla boków 2\sqrt2, 7\sqrt7, 33:

cos⁡α=73,tg⁡α=147.\cos\alpha=\frac{\sqrt7}{3},\qquad \operatorname{tg}\alpha=\frac{\sqrt{14}}7.

g) Dla boków 22, 11, 5\sqrt5:

sin⁡α=255,tg⁡α=2.\sin\alpha=\frac{2\sqrt5}{5},\qquad \operatorname{tg}\alpha=2.

h) Dla boków 11\sqrt{11}, 55, 66:

sin⁡α=116,tg⁡α=115.\sin\alpha=\frac{\sqrt{11}}6,\qquad \operatorname{tg}\alpha=\frac{\sqrt{11}}5.
Odpowiedź

a) sin⁡α=255\sin\alpha=\frac{2\sqrt5}{5}, cos⁡α=55\cos\alpha=\frac{\sqrt5}{5};
b) sin⁡α=33\sin\alpha=\frac{\sqrt3}{3}, cos⁡α=63\cos\alpha=\frac{\sqrt6}{3};
c) sin⁡α=2129\sin\alpha=\frac{21}{29}, cos⁡α=2029\cos\alpha=\frac{20}{29};
d) sin⁡α=63\sin\alpha=\frac{\sqrt6}{3}, cos⁡α=33\cos\alpha=\frac{\sqrt3}{3};
e) cos⁡α=53\cos\alpha=\frac{\sqrt5}{3}, tg⁡α=255\operatorname{tg}\alpha=\frac{2\sqrt5}{5};
f) cos⁡α=73\cos\alpha=\frac{\sqrt7}{3}, tg⁡α=147\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sqrt{14}}7;
g) sin⁡α=255\sin\alpha=\frac{2\sqrt5}{5}, tg⁡α=2\operatorname{tg}\alpha=2;
h) sin⁡α=116\sin\alpha=\frac{\sqrt{11}}6, tg⁡α=115\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sqrt{11}}5.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem