NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 191

a) Każde ramię ma długość

$$\frac{32-6-10}{2}=8\ \text{dm}.$$

Po opuszczeniu wysokości przy każdym końcu krótszej podstawy powstaje trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej $8$ i przyprostokątnej

$$\frac{10-6}{2}=2.$$

Wysokość trapezu wynosi

$$h=\sqrt{8^2-2^2}=2\sqrt{15}.$$

Dla kąta ostrego $\alpha$ trapezu

$$\operatorname{tg}\alpha=\frac{2\sqrt{15}}2=\sqrt{15},$$

więc $\alpha\approx75^\circ30'$. Kąt rozwarty ma około $180^\circ-75^\circ30'=104^\circ30'$.

b) Poziomy rzut przekątnej na dłuższą podstawę ma długość

$$\frac{8+4}{2}=6\ \text{cm}.$$

Jeżeli $\alpha$ jest kątem przekątnej z podstawą, to

$$\operatorname{tg}\alpha=\frac86=\frac43,\qquad \alpha\approx53^\circ.$$

c) Poziomy rzut przekątnej długości $13$ cm ma długość

$$\sqrt{13^2-5^2}=12\ \text{cm}.$$

Oznaczmy przez $x$ poziomy rzut prostopadłego do niej ramienia. Iloczyn skalarny wektorów przekątnej i ramienia jest równy zero, zatem

$$12x=5^2,\qquad x=\frac{25}{12}.$$

Dla kąta ostrego $\alpha$ trapezu

$$\operatorname{tg}\alpha=\frac5{25/12}=\frac{12}{5},\qquad \alpha\approx67^\circ.$$

Drugi rodzaj kąta ma około $113^\circ$.

Z rzutu ramienia $BC$ długości $10$ na podstawę i na wysokość otrzymujemy

$$h=10\sin54^\circ\approx8{,}09,\qquad x=10\cos54^\circ\approx5{,}88.$$

Wysokość trapezu jest bokiem $AD$, a dolna podstawa jest dłuższa od górnej o $x$, zatem

$$|AD|\approx8{,}09,\qquad |AB|=15+x\approx20{,}88.$$

W trójkącie prostokątnym $ACD$

$$\operatorname{tg}|\angle DCA|=\frac{|AD|}{|DC|} =\frac{10\sin54^\circ}{15},$$

więc $|\angle DCA|\approx28^\circ$.

a) Przekątne deltoidu są prostopadłe, a dłuższa z nich jest osią symetrii i dzieli drugą na połowy. Jej części mają długości $20$ i $10$, a połówki krótszej przekątnej także mają po $10$.

Kąt przy końcu odcinka długości $20$ jest równy

$$2\arctan\frac{10}{20}\approx53^\circ.$$

Kąt przy drugim końcu osi symetrii jest równy

$$2\arctan\frac{10}{10}=90^\circ.$$

Każdy z dwóch pozostałych kątów ma miarę

$$\arctan\frac{20}{10}+45^\circ\approx108^\circ30'.$$

b) Drugi bok równoległoboku ma długość

$$\frac{90}{2}-30=15.$$

Jeżeli $\alpha$ jest kątem ostrym, to z wysokości na bok długości $30$

$$\sin\alpha=\frac{10}{15}=\frac23,\qquad \alpha\approx42^\circ.$$

Kąt rozwarty ma około $180^\circ-42^\circ=138^\circ$.

Oznaczmy bok rombu przez $4x$. Punkt będący spodkiem wysokości dzieli drugi bok na odcinki $x$ i $3x$. Zależnie od położenia wierzchołków rzut boku rombu na rozpatrywany bok może mieć długość $x$ albo $3x$.

Przypadek I. Jeżeli rzut ma długość $x$, to dla kąta ostrego $\alpha$

$$\cos\alpha=\frac{x}{4x}=\frac14,\qquad \alpha\approx75^\circ30'.$$

Drugi kąt ma około $104^\circ30'$.

Przypadek II. Jeżeli rzut ma długość $3x$, to

$$\cos\alpha=\frac{3x}{4x}=\frac34,\qquad \alpha\approx41^\circ.$$

Drugi kąt ma około $139^\circ$.

Z warunków $3|DB|=|CD|$ i $|CB|=12$ otrzymujemy

$$|DB|=3,\qquad |CD|=9.$$

Ponieważ trójkąt $ABC$ jest równoboczny, $|AB|=12$ i $|\angle ABD|=60^\circ$. Wysokość $DE$ trójkąta $ABD$ ma więc długość

$$|ED|=|DB|\sin60^\circ=3\cdot\frac{\sqrt3}{2} =\frac{3\sqrt3}{2}.$$

Z twierdzenia cosinusów w trójkącie $ABD$

$$|AD|^2=12^2+3^2-2\cdot12\cdot3\cos60^\circ=117,$$

zatem $|AD|=3\sqrt{13}$.

Przeciwprostokątna trójkąta $ABC$ ma długość

$$|AB|=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt2\ \text{cm}.$$

Każda ze środkowych poprowadzonych z $A$ i $B$ ma długość

$$\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt5\ \text{cm}.$$

Środek ciężkości dzieli środkową w stosunku $2:1$, licząc od wierzchołka, więc

$$|AP|=|BP|=\frac23\cdot3\sqrt5=2\sqrt5\ \text{cm}.$$

Trójkąt $ABP$ jest równoramienny. Dla kąta przy podstawie $\alpha$

$$\cos\alpha=\frac{|AB|}{2|AP|} =\frac{6\sqrt2}{4\sqrt5}=\frac{3\sqrt{10}}{10},$$

stąd $\alpha\approx18^\circ30'$. Kąt przy $P$ ma około $180^\circ-2\cdot18^\circ30'=143^\circ$.

Przekątna podstawy ma długość

$$d_p=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}.$$

Przekątna prostopadłościanu wraz z przekątną podstawy i krawędzią pionową tworzy trójkąt prostokątny. Jeżeli $\alpha$ jest szukanym kątem, to

$$\operatorname{tg}\alpha=\frac2{\sqrt{10}},$$

stąd

$$\alpha\approx32^\circ.$$

a) W trójkącie $BDD'$:

$$|BD|=a\sqrt2,\qquad |DD'|=a,\qquad |BD'|=a\sqrt3.$$

Jest to trójkąt prostokątny przy $D$, więc jego obwód wynosi

$$a(1+\sqrt2+\sqrt3).$$

Mniejszy kąt ostry $\alpha$ spełnia

$$\sin\alpha=\frac{a}{a\sqrt3}=\frac1{\sqrt3},$$

zatem $\alpha\approx35^\circ$, a drugi kąt ostry ma około $55^\circ$.

b) Ponieważ $O$ jest środkiem $BD$,

$$|DO|=\frac{a\sqrt2}{2},\qquad |DD'|=a.$$

Trójkąt $DD'O$ jest prostokątny przy $D$, a jego przeciwprostokątna ma długość

$$|D'O|=\sqrt{a^2+\frac{a^2}{2}}=\frac{a\sqrt6}{2}.$$

Stąd obwód jest równy

$$a+\frac{a\sqrt2}{2}+\frac{a\sqrt6}{2} =\frac a2(2+\sqrt2+\sqrt6).$$

Stosunek krótszej przyprostokątnej do przeciwprostokątnej znów wynosi $1/\sqrt3$, więc kąty ostre mają około $35^\circ$ i $55^\circ$.