NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony, strona 190 — rozwiązania zadań

Zadanie 1

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Ponieważ $AB\parallel CD$ i trapez jest prostokątny, $AD\perp AB$ oraz $AD\perp CD$ .

a) W trójkącie prostokątnym $ABD$

|\angle ABD|=90^\circ-43^\circ46'25''=46^\circ13'35''.

Zatem

|\angle DBC|=73^\circ42'10''-46^\circ13'35'' =27^\circ28'35''.

Kąty przy ramieniu $BC$ są dopełniające do $180^\circ$ , więc

|\angle BCD|=180^\circ-73^\circ42'10''=106^\circ17'50''.

Trzeci kąt trójkąta $BCD$ ma miarę

180^\circ-106^\circ17'50''-27^\circ28'35'' =46^\circ13'35''.

b) Dwusieczna $BP$ dzieli kąt $ABC$ na połowy, zatem

|\angle ABP|=\frac12\cdot73^\circ42'10''=36^\circ51'5''.

Ponieważ $P\in AD$ , mamy $|\angle PAB|=90^\circ$ . Stąd

|\angle BPA|=90^\circ-36^\circ51'5''=53^\circ8'55''.

Odpowiedź

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 2

5 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a)

\frac1{100}\cdot360^\circ=3{,}6^\circ =3^\circ+0{,}6\cdot60'=3^\circ36'.

b)

\frac1{100}\cdot4^\circ=0{,}04^\circ =2{,}4'=2'+0{,}4\cdot60''=2'24''.

c)

\frac1{100}\cdot15^\circ=0{,}15^\circ=9'.

d)

\frac1{100}\cdot12^\circ=0{,}12^\circ =7{,}2'=7'12''.

e)

\frac1{100}\cdot42^\circ=0{,}42^\circ =25{,}2'=25'12''.

Odpowiedź

a) $3^\circ36'$ ;
b) $2'24''$ ;
c) $9'$ ;
d) $7'12''$ ;
e) $25'12''$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 2

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) Dla przyprostokątnych $4$ cm i $6$ cm

c=\sqrt{4^2+6^2}=2\sqrt{13}\ \text{cm}.

Mniejszy kąt ostry $\alpha$ spełnia

\operatorname{tg}\alpha=\frac46=\frac23,

więc $\alpha\approx34^\circ$ , a drugi kąt ma około $56^\circ$ .

b)

c=\sqrt{1^2+7^2}=5\sqrt2\ \text{cm},\qquad \operatorname{tg}\alpha=\frac17.

Stąd kąty ostre mają około $8^\circ$ i $82^\circ$ .

c)

c=\sqrt{8^2+10^2}=2\sqrt{41}\ \text{cm},\qquad \operatorname{tg}\alpha=\frac8{10}=\frac45.

Stąd kąty ostre mają około $39^\circ$ i $51^\circ$ .

Odpowiedź

a) Boki: $4$ cm, $6$ cm, $2\sqrt{13}$ cm; kąty ostre: około $34^\circ$ i $56^\circ$ .
b) Boki: $1$ cm, $7$ cm, $5\sqrt2$ cm; kąty ostre: około $8^\circ$ i $82^\circ$ .
c) Boki: $8$ cm, $10$ cm, $2\sqrt{41}$ cm; kąty ostre: około $39^\circ$ i $51^\circ$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 3

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

W trójkącie $ABC$ mamy

|\angle ABC|=90^\circ-55^\circ=35^\circ,

|AB|=10\sin55^\circ,\qquad |AC|=10\cos55^\circ.

a) Dwusieczna dzieli kąt przy $C$ na dwa kąty po $27^\circ30'$ . W trójkącie $BCD$ :

|\angle BDC|=180^\circ-35^\circ-27^\circ30'=117^\circ30'.

Z twierdzenia sinusów

\frac{|CD|}{\sin35^\circ} =\frac{10}{\sin117^\circ30'},

stąd $|CD|\approx6{,}47$ .

b) Ponieważ $CD$ jest środkową,

|AD|=|DB|=\frac{|AB|}{2}=5\sin55^\circ.

Trójkąt $ACD$ jest prostokątny, więc

|CD|=\sqrt{(10\cos55^\circ)^2+(5\sin55^\circ)^2} \approx7{,}05.

Ponadto

\operatorname{tg}|\angle ACD| =\frac{5\sin55^\circ}{10\cos55^\circ},

zatem $|\angle ACD|\approx36^\circ$ . Stąd

|\angle BCD|=55^\circ-|\angle ACD|\approx19^\circ,

|\angle BDC|\approx180^\circ-35^\circ-19^\circ=126^\circ.

Odpowiedź

a) $|CD|\approx6{,}47$ ; kąty trójkąta $BCD$ : $27^\circ30'$ , $35^\circ$ , $117^\circ30'$ .
b) $|CD|\approx7{,}05$ ; kąty trójkąta $BCD$ : $35^\circ$ , około $19^\circ$ i około $126^\circ$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 3

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) Trzeci kąt ma miarę

|\angle ABC|=90^\circ-34^\circ=56^\circ.

Ponieważ $BC$ leży naprzeciwko kąta $34^\circ$ ,

|AB|=\frac6{\sin34^\circ}\approx10{,}73,\qquad |AC|=\frac6{\operatorname{tg}34^\circ}\approx8{,}90.

b) Trzeci kąt ma miarę

|\angle CAB|=90^\circ-66^\circ=24^\circ.

Ponieważ $AB=10$ jest przeciwprostokątną,

|BC|=10\cos66^\circ\approx4{,}07,\qquad |AC|=10\sin66^\circ\approx9{,}14.

Odpowiedź

a) Kąty: $90^\circ$ , $34^\circ$ , $56^\circ$ ; $|BC|=6$ , $|AC|\approx8{,}90$ , $|AB|\approx10{,}73$ .
b) Kąty: $90^\circ$ , $66^\circ$ , $24^\circ$ ; $|AB|=10$ , $|BC|\approx4{,}07$ , $|AC|\approx9{,}14$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem