NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 18

Podstawiamy $t=x^2$, gdzie $t\geqslant0$.

a)

$$t^2-13t+36=(t-4)(t-9)=0.$$

Zatem $x^2=4$ lub $x^2=9$, czyli $x\in\{-3,-2,2,3\}$.

b)

$$t^2-5t+36=0, \qquad\Delta=25-144=-119<0.$$

Równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.

c)

$$t^2-12t+36=(t-6)^2=0.$$

Stąd $x^2=6$, więc $x=\pm\sqrt6$.

d)

$$t^2+5t+4=(t+1)(t+4)=0.$$

Obie wartości $t$ są ujemne, zatem brak rozwiązań rzeczywistych.

e) Po pomnożeniu równania przez $-1$ otrzymujemy

$$t^2-7t+12=(t-3)(t-4)=0.$$

Stąd $x^2=3$ lub $x^2=4$, czyli $x\in\{-2,-\sqrt3,\sqrt3,2\}$.

f)

$$t^2-t+20=0, \qquad\Delta=1-80=-79<0.$$

Równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Podstawiamy $t=x^2$, gdzie $t\geqslant0$.

a)

$$4t^2-13t+3=0, \qquad\Delta=121.$$

Stąd $t=\frac14$ lub $t=3$, więc $x\in\{-\sqrt3,-\frac12,\frac12,\sqrt3\}$.

b)

$$9t^2+17t-2=0, \qquad\Delta=361.$$

Otrzymujemy $t=\frac19$ lub $t=-2$. Odrzucamy wartość ujemną, zatem $x=\pm\frac13$.

c)

$$t^2+7t-2=0.$$

Pierwiastki to $t=\frac{-7-\sqrt{57}}2<0$ oraz $t=\frac{\sqrt{57}-7}{2}>0$. Tylko drugi jest dopuszczalny, więc

$$x=\pm\sqrt{\frac{\sqrt{57}-7}{2}}.$$

d)

$$9t^2-19t+2=0, \qquad\Delta=289.$$

Stąd $t=\frac19$ lub $t=2$, zatem $x\in\{-\sqrt2,-\frac13,\frac13,\sqrt2\}$.

e)

$$4t^2-17t+18=0, \qquad\Delta=1.$$

Otrzymujemy $t=2$ lub $t=\frac94$, więc $x\in\{-\frac32,-\sqrt2,\sqrt2,\frac32\}$.

f)

$$9t^2+14t-8=0, \qquad\Delta=484.$$

Pierwiastki to $t=\frac49$ i $t=-2$. Po odrzuceniu wartości ujemnej otrzymujemy $x=\pm\frac23$.

Podstawiamy $t=x^2$, gdzie $t\geqslant0$.

a)

$$t^2-5t-6=(t-6)(t+1)=0.$$

Wartość $t=-1$ odrzucamy. Dla $t=6$ otrzymujemy $x=\pm\sqrt6$.

b)

$$t^2+5t+6=(t+2)(t+3)=0.$$

Obie wartości $t$ są ujemne, więc równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.

c)

$$t^2+t-12=(t-3)(t+4)=0.$$

Odrzucamy $t=-4$, a z $t=3$ dostajemy $x=\pm\sqrt3$.

d)

$$t^2-4t+4=(t-2)^2=0,$$

zatem $x^2=2$ i $x=\pm\sqrt2$.

e)

$$4t^2+7t-2=(4t-1)(t+2)=0.$$

Odrzucamy $t=-2$. Z $t=\frac14$ otrzymujemy $x=\pm\frac12$.

f)

$$9t^2-8t-1=(9t+1)(t-1)=0.$$

Odrzucamy $t=-\frac19$. Dla $t=1$ mamy $x=\pm1$.

Najpierw wyznaczamy wszystkie pierwiastki, podstawiając $t=x^2$, a następnie zostawiamy tylko należące do wskazanego przedziału.

a)

$$t^2-5t+6=(t-2)(t-3)=0.$$

Wszystkie pierwiastki to $\pm\sqrt2,\pm\sqrt3$. Do przedziału $\left(-\frac32;\frac32\right)$ należą tylko $-\sqrt2$ i $\sqrt2$.

b)

$$t^2-9t+18=(t-3)(t-6)=0.$$

Pierwiastki to $\pm\sqrt3,\pm\sqrt6$. W przedziale $(-2;0)$ leży wyłącznie $-\sqrt3$.

c)

$$2t^2-5t+2=(2t-1)(t-2)=0.$$

Pierwiastki to $\pm\frac{\sqrt2}{2}$ i $\pm\sqrt2$. Do przedziału $\left(-\frac12;\frac32\right)$ należą $\frac{\sqrt2}{2}$ oraz $\sqrt2$.

d)

$$6t^2-7t+2=(3t-2)(2t-1)=0.$$

Pierwiastki to $\pm\frac{\sqrt6}{3}$ i $\pm\frac{\sqrt2}{2}$. W przedziale $\left(-1;\frac12\right)$ leżą $-\frac{\sqrt6}{3}$ i $-\frac{\sqrt2}{2}$.

Podstawiamy $t=x^2$, gdzie $t\geqslant0$, i liczymy dopuszczalne wartości $t$ oraz odpowiadające im wartości $x$.

a)

$$x^4-9x^2=x^2(x^2-9)=0.$$

Otrzymujemy $x=0$ lub $x=\pm3$, czyli $3$ rozwiązania.

b)

$$x^4+9x^2=x^2(x^2+9)=0.$$

Jedynym rozwiązaniem rzeczywistym jest $x=0$, więc liczba rozwiązań to $1$.

c)

$$t^2-6t-7=(t-7)(t+1)=0.$$

Tylko $t=7$ jest dopuszczalne i daje $x=\pm\sqrt7$, więc są $2$ rozwiązania.

d)

$$t^2-8t+15=(t-3)(t-5)=0.$$

Obie wartości $t$ są dodatnie i każda daje dwa przeciwne pierwiastki $x$. Równanie ma $4$ rozwiązania.

e)

$$2t^2+3t+5=0, \qquad\Delta=3^2-4\cdot2\cdot5=-31<0.$$

Nie ma wartości $t$, więc równanie ma $0$ rozwiązań rzeczywistych.

f)

$$9t^2-12t+4=(3t-2)^2=0.$$

Wartość $t=\frac23$ daje dwa przeciwne pierwiastki, zatem są $2$ rozwiązania.

Podstawiamy $t=x^2$, gdzie $t\geqslant0$.

a)

$$(t-3)^2=(2t-1)(t-3),$$ $$(t-3)\bigl[(t-3)-(2t-1)\bigr]=-(t-3)(t+2)=0.$$

Mamy $t=3$ lub $t=-2$. Odrzucamy wartość ujemną, więc $x=\pm\sqrt3$.

b)

$$(t+2)^2=(t+2)(3t-4),$$ $$(t+2)\bigl[(t+2)-(3t-4)\bigr]=(t+2)(6-2t)=0.$$

Dopuszczalne jest tylko $t=3$, zatem $x=\pm\sqrt3$.

c) Po rozwinięciu obu stron:

$$(2t+3)^2-9=8-(3-t)^2,$$ $$4t^2+12t=-t^2+6t-1,$$ $$5t^2+6t+1=(5t+1)(t+1)=0.$$

Obie wartości $t=-\frac15$ i $t=-1$ są ujemne. Brak rozwiązań.

d)

$$t^2-3\sqrt2\,t+4=0, \qquad\Delta=2.$$

Stąd $t_1=\sqrt2$, $t_2=2\sqrt2$. Obie wartości są dodatnie i dają

$$x\in\{-\sqrt[4]{8},-\sqrt[4]{2},\sqrt[4]{2},\sqrt[4]{8}\}.$$

e) Prawą stronę zapisujemy jako $6-6\sqrt2\,t$:

$$t^2+6\sqrt2\,t-2=0, \qquad\Delta=80.$$

Pierwiastki to $t_1=-3\sqrt2-2\sqrt5<0$ oraz $t_2=2\sqrt5-3\sqrt2>0$. Zatem

$$x=\pm\sqrt{2\sqrt5-3\sqrt2}.$$

f)

$$t^2-6=2\sqrt3\,t-9 \iff t^2-2\sqrt3\,t+3=(t-\sqrt3)^2=0.$$

Stąd $t=\sqrt3$, więc $x=\pm\sqrt[4]{3}$.