NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 188

a) Niech $d$ oznacza odległość punktu $B$ od drzewa, a $h$ — wysokość drzewa. Z dwóch trójkątów prostokątnych:

$$\operatorname{tg}25^\circ=\frac hd, \qquad \operatorname{tg}15^\circ=\frac h{d+20}.$$

Stąd

$$d=\frac h{\operatorname{tg}25^\circ}, \qquad d+20=\frac h{\operatorname{tg}15^\circ}.$$

Po odjęciu równań:

$$20=h\left(\frac1{\operatorname{tg}15^\circ} -\frac1{\operatorname{tg}25^\circ}\right).$$

Korzystając z tablic, $\operatorname{tg}15^\circ\approx0{,}2679$ i $\operatorname{tg}25^\circ\approx0{,}4663$, zatem

$$h\approx\frac{20}{\frac1{0{,}2679}-\frac1{0{,}4663}} \approx12{,}59\ \text{m}.$$

b) Odcinek $AB=40\ \text{m}$ tworzy z poziomem kąt $\beta=28^\circ$. Jego składowe mają długości

$$p=40\cos28^\circ\approx40\cdot0{,}8829=35{,}316\ \text{m},$$ $$q=40\sin28^\circ\approx40\cdot0{,}4695=18{,}78\ \text{m}.$$

Linia widzenia czubka drzewa tworzy z poziomem kąt $\alpha+\beta=38^\circ$. Dlatego

$$\operatorname{tg}38^\circ=\frac{q+h}{p},$$ $$h=p\operatorname{tg}38^\circ-q \approx35{,}316\cdot0{,}7813-18{,}78 \approx8{,}81\ \text{m}.$$

Niech $P$ będzie pionowym rzutem samolotu na ziemię. Wtedy

$$PA=\frac{50}{\operatorname{tg}30^\circ}, \qquad PB=\frac{50}{\operatorname{tg}10^\circ}.$$

Ponieważ $A$ jest początkiem, a $B$ końcem pasa,

$$AB=PB-PA =50\left(\frac1{\operatorname{tg}10^\circ} -\frac1{\operatorname{tg}30^\circ}\right).$$

Korzystając z wartości tablicowych $\operatorname{tg}10^\circ\approx0{,}1763$ i $\operatorname{tg}30^\circ\approx0{,}5774$:

$$AB\approx50\left(\frac1{0{,}1763}-\frac1{0{,}5774}\right) \approx197\ \text{m}.$$

Niech $d$ będzie poziomą odległością od początku pasa. W trójkącie prostokątnym

$$\operatorname{tg}4^\circ=\frac{2400}{d},$$

więc

$$d=\frac{2400}{\operatorname{tg}4^\circ} \approx\frac{2400}{0{,}0699} \approx34334{,}76\ \text{m} \approx34{,}33\ \text{km}.$$

Czas lotu wynosi

$$t=2\ \text{min}=120\ \text{s}.$$

Samolot pokona wzdłuż toru drogę

$$s=vt=80\cdot120=9600\ \text{m}.$$

Osiągnięta wysokość jest pionową składową tej drogi:

$$h=s\sin15^\circ \approx9600\cdot0{,}2588 =2484{,}48\ \text{m}.$$

Niech $x$ będzie poziomą odległością pionowego rzutu samolotu od punktu $A$, a $h$ — wysokością lotu. Punkt $B$ leży o $400\ \text{m}$ dalej, więc

$$\operatorname{tg}20^\circ=\frac hx, \qquad \operatorname{tg}8^\circ=\frac h{x+400}.$$

Zatem

$$x=\frac h{\operatorname{tg}20^\circ}, \qquad x+400=\frac h{\operatorname{tg}8^\circ}.$$

Po odjęciu:

$$400=h\left(\frac1{\operatorname{tg}8^\circ} -\frac1{\operatorname{tg}20^\circ}\right).$$

Korzystając z $\operatorname{tg}8^\circ\approx0{,}1405$ oraz $\operatorname{tg}20^\circ\approx0{,}3640$:

$$h\approx\frac{400}{\frac1{0{,}1405}-\frac1{0{,}3640}} \approx91{,}53\ \text{m}.$$

a) Odległości punktów obserwacji od podstawy komina wynoszą

$$d_A=\frac{20}{\operatorname{tg}26^\circ} \approx\frac{20}{0{,}4877}\approx41{,}01\ \text{m},$$ $$d_B=\frac{20}{\operatorname{tg}40^\circ} \approx\frac{20}{0{,}8391}\approx23{,}84\ \text{m}.$$

Jeśli $A$ i $B$ leżą po tej samej stronie komina, to

$$AB=d_A-d_B\approx17{,}17\ \text{m}.$$

Jeśli leżą po przeciwnych stronach, to

$$AB=d_A+d_B\approx64{,}84\ \text{m}.$$

b) Niech $x$ będzie odległością drugiego, bliższego punktu od komina, a $h$ — wysokością komina. Wtedy

$$x=\frac h{\operatorname{tg}61^\circ}, \qquad x+50=\frac h{\operatorname{tg}42^\circ}.$$

Po odjęciu:

$$50=h\left(\frac1{\operatorname{tg}42^\circ} -\frac1{\operatorname{tg}61^\circ}\right).$$

Korzystając z wartości $0{,}9004$ i $1{,}8040$:

$$h\approx\frac{50}{\frac1{0{,}9004}-\frac1{1{,}8040}} \approx89{,}88\ \text{m}.$$

Niech $x_\alpha$ i $x_\beta$ oznaczają poziome odległości łodzi od podstawy latarni odpowiednio podczas pierwszej i drugiej obserwacji. Kąty depresji są równe odpowiednim kątom wzniesienia przy łodzi, więc

$$\operatorname{tg}\alpha=\frac{a}{x_\alpha}, \qquad \operatorname{tg}\beta=\frac{a}{x_\beta}.$$

Stąd

$$x_\alpha=\frac{a}{\operatorname{tg}\alpha}, \qquad x_\beta=\frac{a}{\operatorname{tg}\beta}.$$

Łódź płynie ku latarni, zatem przebyta odległość jest różnicą tych odległości:

$$x_\alpha-x_\beta =\frac{a}{\operatorname{tg}\alpha} -\frac{a}{\operatorname{tg}\beta} =a\left(\frac1{\operatorname{tg}\alpha} -\frac1{\operatorname{tg}\beta}\right).$$