NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 187

Sznurek jest przeciwprostokątną trójkąta, a wysokość $h$ — przyprostokątną leżącą naprzeciw kąta $70^\circ$. Zatem

$$\sin70^\circ=\frac{h}{20},$$ $$h=20\sin70^\circ\approx20\cdot0{,}9397 \approx18{,}79\ \text{m}.$$

Wysokości osiągane przez drabinę wynoszą odpowiednio

$$h_1=6\sin73^\circ, \qquad h_2=6\sin53^\circ.$$

Ich różnica jest równa

$$h_1-h_2=6(\sin73^\circ-\sin53^\circ) \approx6(0{,}9563-0{,}7986) \approx0{,}95\ \text{m}.$$

Ponieważ $0{,}95\ \text{m}=95\ \text{cm}$, o tyle wyżej sięgnie pierwsze ustawienie.

Niech $\alpha$ oznacza kąt między drabiną a ziemią.

a) Wysokość $5{,}5\ \text{m}$ leży naprzeciw kąta $\alpha$, a drabina $6{,}5\ \text{m}$ jest przeciwprostokątną. Zatem

$$\sin\alpha=\frac{5{,}5}{6{,}5}=\frac{11}{13}\approx0{,}8462.$$

Stąd $\alpha\approx58^\circ$.

b) Odległość $1\ \text{m}$ od ściany jest przyprostokątną przyległą do $\alpha$, więc

$$\cos\alpha=\frac1{4{,}5}=\frac29\approx0{,}2222.$$

Stąd $\alpha\approx77^\circ$.

Wzrost ucznia to $180\ \text{cm}=1{,}8\ \text{m}$. Niech $A$ będzie wspólnym końcem cieni, $B$ — miejscem, w którym stoi uczeń, a $C$ — podstawą drzewa. Jeżeli $AB=s$, to

$$\operatorname{tg}31^\circ=\frac{1{,}8}{s}.$$

Cień drzewa ma długość $AC=s+18$. Dla jego wysokości $h$:

$$h=(s+18)\operatorname{tg}31^\circ.$$

Ponieważ $s\operatorname{tg}31^\circ=1{,}8$, otrzymujemy

$$h=1{,}8+18\operatorname{tg}31^\circ \approx1{,}8+18\cdot0{,}6009 \approx12{,}62\ \text{m}.$$

Pionowy przyrost wysokości od punktu zamocowania drabiny wynosi

$$20\sin72^\circ\approx20\cdot0{,}9511=19{,}02\ \text{m}.$$

Punkt zamocowania znajduje się $2{,}4\ \text{m}$ nad ziemią, więc łączna wysokość jest równa

$$h=2{,}4+20\sin72^\circ\approx21{,}42\ \text{m}.$$

a) Dla szukanego kąta $\alpha$

$$\operatorname{tg}\alpha=\frac{20}{17}\approx1{,}1765.$$

Stąd $\alpha\approx49{,}6^\circ$, czyli po zaokrągleniu do stopni $\alpha\approx50^\circ$.

b) Najpierw wyznaczamy długość drabiny $L$ z pierwszego ustawienia:

$$\sin54^\circ=\frac{3{,}6}{L}, \qquad L=\frac{3{,}6}{\sin54^\circ}\approx4{,}45\ \text{m}.$$

Dla drugiego ustawienia

$$\sin\beta=\frac4L =\frac{4\sin54^\circ}{3{,}6}\approx0{,}8989.$$

Zatem $\beta\approx64^\circ$.