NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 185

Wartości dla $30^\circ$ i $60^\circ$ wynikają z proporcji boków $1:\sqrt3:2$, a wartości dla $45^\circ$ — z proporcji $1:1:\sqrt2$. Uzupełniona tabela ma postać:

Każdy z dwóch trójkątów prostokątnych ma przyprostokątne długości $1$ i $2$. Przekątna prostokąta ma długość

$$c=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5.$$

Niech $\alpha$ będzie kątem naprzeciw boku $1$, a $\beta$ — naprzeciw boku $2$. Wtedy

$$\sin\alpha=\cos\beta=\frac1{\sqrt5}=\frac{\sqrt5}{5},$$ $$\cos\alpha=\sin\beta=\frac2{\sqrt5}=\frac{2\sqrt5}{5},$$ $$\operatorname{tg}\alpha=\frac12, \qquad \operatorname{tg}\beta=2.$$

a) Z twierdzenia Pitagorasa

$$x^2+(x+14)^2=26^2.$$

Po uproszczeniu

$$x^2+14x-240=0, \qquad(x-10)(x+24)=0.$$

Długość jest dodatnia, więc $x=10$, a $x+14=24$.

b) Na skanie bok $x=10$ leży naprzeciw kąta $\alpha$, a bok $24$ — przy nim. Zatem

$$\sin\alpha=\frac{10}{26}=\frac5{13}, \quad \cos\alpha=\frac{24}{26}=\frac{12}{13}, \quad \operatorname{tg}\alpha=\frac{10}{24}=\frac5{12}.$$

Dla kąta dopełniającego $\beta$:

$$\sin\beta=\frac{12}{13}, \quad \cos\beta=\frac5{13}, \quad \operatorname{tg}\beta=\frac{12}{5}.$$

Oznaczmy krótszą przyprostokątną przez $a$. Druga ma długość $3a$, a przeciwprostokątna

$$c=\sqrt{a^2+(3a)^2}=a\sqrt{10}.$$

Niech $\alpha$ leży naprzeciw krótszej przyprostokątnej, a $\beta$ — naprzeciw dłuższej. Wtedy

$$\sin\alpha=\cos\beta=\frac1{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10},$$ $$\cos\alpha=\sin\beta=\frac3{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10},$$ $$\operatorname{tg}\alpha=\frac13, \qquad \operatorname{tg}\beta=3.$$

Każdy z dwóch przystających trójkątów ma dwa boki długości $9$ i $10$. Gdyby przekątna była przeciwprostokątną, kąt między bokami równoległoboku miałby $90^\circ$, więc równoległobok byłby prostokątem. Jest to wykluczone. Przeciwprostokątną jest zatem bok długości $10$, a długość przekątnej $d$ spełnia

$$9^2+d^2=10^2, \qquad d=\sqrt{19}.$$

Niech $\alpha$ będzie kątem naprzeciw boku $9$, a $\beta$ — naprzeciw $\sqrt{19}$. Wtedy

$$\sin\alpha=\cos\beta=\frac9{10}, \quad \cos\alpha=\sin\beta=\frac{\sqrt{19}}{10},$$ $$\operatorname{tg}\alpha=\frac9{\sqrt{19}}=\frac{9\sqrt{19}}{19}, \quad \operatorname{tg}\beta=\frac{\sqrt{19}}9.$$

Po opuszczeniu wysokości z końców krótszej podstawy otrzymujemy po bokach odcinki długości

$$\frac{10-6}{2}=2.$$

a) Dla kąta $\alpha$ między dłuższą podstawą a przekątną pozioma przyprostokątna ma długość $2+6=8$, a pionowa $5$. Przeciwprostokątna ma długość $\sqrt{8^2+5^2}=\sqrt{89}$, więc

$$\sin\alpha=\frac5{\sqrt{89}}=\frac{5\sqrt{89}}{89},$$ $$\cos\alpha=\frac8{\sqrt{89}}=\frac{8\sqrt{89}}{89}, \qquad \operatorname{tg}\alpha=\frac58.$$

b) Dla kąta $\beta$ między podstawą a ramieniem przyprostokątne mają długości $2$ i $5$, a przeciwprostokątna $\sqrt{29}$. Zatem

$$\sin\beta=\frac5{\sqrt{29}}=\frac{5\sqrt{29}}{29},$$ $$\cos\beta=\frac2{\sqrt{29}}=\frac{2\sqrt{29}}{29}, \qquad \operatorname{tg}\beta=\frac52.$$

Promień $OB$ ma długość $1$.

a) W trójkącie prostokątnym $ODB$

$$\sin\alpha=\frac{BD}{OB}=BD.$$

Ponieważ prostopadła $OD$ poprowadzona ze środka okręgu do cięciwy $BF$ dzieli tę cięciwę na połowy, $BD=DF$. Zatem także $DF=\sin\alpha$.

b) W tym samym trójkącie

$$\cos\alpha=\frac{DO}{OB}=DO.$$

c) Trójkąt $OBC$ jest prostokątny przy $B$, a $OB=1$. Stąd

$$\operatorname{tg}\alpha=\frac{BC}{OB}=BC.$$

a) W trójkącie prostokątnym $OBC$ przeciwprostokątną jest $CO$, a bokiem przyległym do kąta $\alpha$ — promień $OB=1$. Zatem

$$\cos\alpha=\frac{OB}{CO}=\frac1{CO}.$$

Po przekształceniu

$$CO=\frac1{\cos\alpha}.$$

b) Odcinki $OA$ i $OC$ są prostopadłe, podobnie jak $AB$ i $OB$. Dlatego kąt $BAO$ jest równy $\alpha$. W trójkącie prostokątnym $AOB$

$$\sin\alpha=\frac{OB}{AO}=\frac1{AO}.$$

Stąd

$$AO=\frac1{\sin\alpha}.$$