Przejdź do treści
KorepetytorAI
Zaloguj się
Cała strona · Podręcznik · szkoła średnia

NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 184

rozdział 4. Trygonometria · temat „4.2. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego” · 4 zadania z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Zadanie 1

6 podpunktów

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

W każdym podpunkcie α\alpha oznacza kąt naprzeciw pierwszej wymienionej przyprostokątnej, a β\beta — drugi kąt ostry.

a) Przyprostokątne: 6,86,8, przeciwprostokątna: 1010.

sin⁡α=cos⁡β=35,cos⁡α=sin⁡β=45,tg⁡α=34,tg⁡β=43.\sin\alpha=\cos\beta=\frac35, \quad \cos\alpha=\sin\beta=\frac45, \quad \operatorname{tg}\alpha=\frac34, \quad \operatorname{tg}\beta=\frac43.

b) Przyprostokątne: 7,247,24, przeciwprostokątna: 2525.

sin⁡α=cos⁡β=725,cos⁡α=sin⁡β=2425,tg⁡α=724,tg⁡β=247.\sin\alpha=\cos\beta=\frac7{25}, \quad \cos\alpha=\sin\beta=\frac{24}{25}, \quad \operatorname{tg}\alpha=\frac7{24}, \quad \operatorname{tg}\beta=\frac{24}{7}.

c) Przyprostokątne: 1,41,4, przeciwprostokątna: 17\sqrt{17}.

sin⁡α=cos⁡β=1717,cos⁡α=sin⁡β=41717,\sin\alpha=\cos\beta=\frac{\sqrt{17}}{17}, \quad \cos\alpha=\sin\beta=\frac{4\sqrt{17}}{17}, tg⁡α=14,tg⁡β=4.\operatorname{tg}\alpha=\frac14, \quad \operatorname{tg}\beta=4.

d) Przyprostokątne: 1,151,\sqrt{15}, przeciwprostokątna: 44.

sin⁡α=cos⁡β=14,cos⁡α=sin⁡β=154,\sin\alpha=\cos\beta=\frac14, \quad \cos\alpha=\sin\beta=\frac{\sqrt{15}}4, tg⁡α=115=1515,tg⁡β=15.\operatorname{tg}\alpha=\frac1{\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{15}}{15}, \quad \operatorname{tg}\beta=\sqrt{15}.

e) Przyprostokątne: 5,25\sqrt5,2\sqrt5, przeciwprostokątna: 55.

sin⁡α=cos⁡β=55,cos⁡α=sin⁡β=255,\sin\alpha=\cos\beta=\frac{\sqrt5}{5}, \quad \cos\alpha=\sin\beta=\frac{2\sqrt5}{5}, tg⁡α=12,tg⁡β=2.\operatorname{tg}\alpha=\frac12, \quad \operatorname{tg}\beta=2.

f) Przyprostokątne: 2,2\sqrt2,2, przeciwprostokątna: 6\sqrt6.

sin⁡α=cos⁡β=33,cos⁡α=sin⁡β=63,\sin\alpha=\cos\beta=\frac{\sqrt3}{3}, \quad \cos\alpha=\sin\beta=\frac{\sqrt6}{3}, tg⁡α=22,tg⁡β=2.\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sqrt2}{2}, \quad \operatorname{tg}\beta=\sqrt2.
Odpowiedź

a) (sin⁡α,cos⁡α,tg⁡α)=(35,45,34)(\sin\alpha,\cos\alpha,\operatorname{tg}\alpha)= (\frac35,\frac45,\frac34);

b) (725,2425,724)(\frac7{25},\frac{24}{25},\frac7{24});

c) (1717,41717,14)(\frac{\sqrt{17}}{17},\frac{4\sqrt{17}}{17},\frac14);

d) (14,154,1515)(\frac14,\frac{\sqrt{15}}4,\frac{\sqrt{15}}{15});

e) (55,255,12)(\frac{\sqrt5}{5},\frac{2\sqrt5}{5},\frac12);

f) (33,63,22)(\frac{\sqrt3}{3},\frac{\sqrt6}{3},\frac{\sqrt2}{2}).

W każdym podpunkcie wartości dla β\beta otrzymuje się przez zamianę sinusa z cosinusem i odwrócenie tangensa.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 2

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

W trójkącie 30∘30^\circ–60∘60^\circ–90∘90^\circ przyjmijmy długości boków naprzeciw tych kątów odpowiednio aa, a3a\sqrt3, 2a2a. Dla kąta 60∘60^\circ otrzymujemy

sin⁡60∘=a32a=32,\sin60^\circ=\frac{a\sqrt3}{2a}=\frac{\sqrt3}{2}, cos⁡60∘=a2a=12,\cos60^\circ=\frac{a}{2a}=\frac12, tg⁡60∘=a3a=3.\operatorname{tg}60^\circ=\frac{a\sqrt3}{a}=\sqrt3.
Odpowiedź

sin⁡60∘=32\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}, cos⁡60∘=12\cos60^\circ=\frac12, tg⁡60∘=3\operatorname{tg}60^\circ=\sqrt3.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 3

3 podpunkty

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Niech α\alpha będzie kątem leżącym naprzeciw boku aa, a β\beta — naprzeciw boku bb. Wtedy

sin⁡α=cos⁡β=ac,cos⁡α=sin⁡β=bc,tg⁡α=ab,tg⁡β=ba.\sin\alpha=\cos\beta=\frac ac, \quad \cos\alpha=\sin\beta=\frac bc, \quad \operatorname{tg}\alpha=\frac ab, \quad \operatorname{tg}\beta=\frac ba.

a) Dla boków 5,12,135,12,13:

sin⁡α=cos⁡β=513,cos⁡α=sin⁡β=1213,\sin\alpha=\cos\beta=\frac5{13}, \quad \cos\alpha=\sin\beta=\frac{12}{13}, tg⁡α=512,tg⁡β=125.\operatorname{tg}\alpha=\frac5{12}, \quad \operatorname{tg}\beta=\frac{12}{5}.

b) Dla boków 8,15,178,15,17:

sin⁡α=cos⁡β=817,cos⁡α=sin⁡β=1517,\sin\alpha=\cos\beta=\frac8{17}, \quad \cos\alpha=\sin\beta=\frac{15}{17}, tg⁡α=815,tg⁡β=158.\operatorname{tg}\alpha=\frac8{15}, \quad \operatorname{tg}\beta=\frac{15}{8}.

c)

sin⁡α=cos⁡β=1232=13,\sin\alpha=\cos\beta=\frac{\frac12}{\frac32}=\frac13, cos⁡α=sin⁡β=232=223,\cos\alpha=\sin\beta=\frac{\sqrt2}{\frac32}=\frac{2\sqrt2}{3}, tg⁡α=122=24,tg⁡β=22.\operatorname{tg}\alpha=\frac{\frac12}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{4}, \quad \operatorname{tg}\beta=2\sqrt2.
Odpowiedź

a) sin⁡α=cos⁡β=513\sin\alpha=\cos\beta=\frac5{13}, cos⁡α=sin⁡β=1213\cos\alpha=\sin\beta=\frac{12}{13}, tg⁡α=512\operatorname{tg}\alpha=\frac5{12}, tg⁡β=125\operatorname{tg}\beta=\frac{12}{5};

b) sin⁡α=cos⁡β=817\sin\alpha=\cos\beta=\frac8{17}, cos⁡α=sin⁡β=1517\cos\alpha=\sin\beta=\frac{15}{17}, tg⁡α=815\operatorname{tg}\alpha=\frac8{15}, tg⁡β=158\operatorname{tg}\beta=\frac{15}{8};

c) sin⁡α=cos⁡β=13\sin\alpha=\cos\beta=\frac13, cos⁡α=sin⁡β=223\cos\alpha=\sin\beta=\frac{2\sqrt2}{3}, tg⁡α=24\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sqrt2}{4}, tg⁡β=22\operatorname{tg}\beta=2\sqrt2.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 4

brak w kluczu
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Na okręgu jednostkowym wybierzmy punkty C1,C2C_1,C_2 odpowiadające kątom α<β<90∘\alpha<\beta<90^\circ i opuśćmy z nich prostopadłe na poziome ramię kąta. Niech ich spodkami będą B1,B2B_1,B_2. Przeciwprostokątne OC1,OC2OC_1,OC_2 mają długość 11, więc

cos⁡α=∣OB1∣1=∣OB1∣,cos⁡β=∣OB2∣1=∣OB2∣.\cos\alpha=\frac{|OB_1|}{1}=|OB_1|, \qquad \cos\beta=\frac{|OB_2|}{1}=|OB_2|.

Gdy promień obraca się od kąta α\alpha do większego kąta β\beta w pierwszej ćwiartce, jego rzut na poziomą oś skraca się, zatem

∣OB1∣>∣OB2∣.|OB_1|>|OB_2|.

W konsekwencji cos⁡α>cos⁡β\cos\alpha>\cos\beta.

Odpowiedź

Jeśli α<β<90∘\alpha<\beta<90^\circ, to cos⁡α>cos⁡β\cos\alpha>\cos\beta.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu