NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 173

Jeżeli punkt $(x,y)$ należy do wykresu $y=\frac ax$, to $a=xy$. Dla podanego punktu

$$a=(2\sqrt5-3)(2\sqrt5+3)=(2\sqrt5)^2-3^2=20-9=11.$$

Ponieważ $\sqrt3-1>0$, rozpatrujemy dwa równania:

$$x-1+\sqrt3=\sqrt3-1 \quad\text{lub}\quad x-1+\sqrt3=-(\sqrt3-1).$$

Z pierwszego otrzymujemy $x=0$, a z drugiego

$$x-1+\sqrt3=1-\sqrt3,\qquad x=2-2\sqrt3.$$

Ze skanu odczytujemy poziomą asymptotę $y=2$, zatem $b=2$ i

$$f(x)=\frac{3}{2x}+2.$$

Na przedziale $\left[\frac12;6\right]$ składnik $\frac{3}{2x}$ jest malejący, więc najmniejsza wartość występuje dla $x=6$:

$$f(6)=\frac{3}{12}+2=\frac14+2=\frac94=2\frac14.$$

Ze skanu, tak jak w podzadaniu 18.1, odczytujemy $b=2$. Rozwiązujemy więc równanie

$$\frac{3}{2x}+2=x,\qquad x\neq0.$$

Po pomnożeniu przez $2x$ otrzymujemy

$$3+4x=2x^2,\qquad 2x^2-4x-3=0.$$

Wyróżnik i pierwiastki są równe

$$\Delta=(-4)^2-4\cdot2\cdot(-3)=40,$$ $$x_{1,2}=\frac{4\pm\sqrt{40}}{4}=1\pm\frac{\sqrt{10}}2.$$

Oba rozwiązania są różne od zera.

Skan strony potwierdza, że kreska pierwiastka obejmuje tylko liczbę $2$. Ponieważ

$$\sqrt2\,x-4=\sqrt2(x-2\sqrt2),$$

dziedzinę określa warunek $x\neq2\sqrt2$. Równanie przyjmuje postać

$$\frac{x}{\sqrt2(x-2\sqrt2)}=\frac{1}{x-2\sqrt2}.$$

Mnożymy obie strony przez niezerowe $x-2\sqrt2$:

$$\frac{x}{\sqrt2}=1,\qquad x=\sqrt2.$$

Otrzymana liczba należy do dziedziny.

Niech $(x,y)$ będzie punktem wykresu o obu współrzędnych całkowitych. Mamy $x\neq0$ oraz

$$y-1=\frac4x.$$

Lewa strona jest liczbą całkowitą, więc $\frac4x$ również musi być całkowite. Całkowita liczba $x$ musi zatem dzielić $4$:

$$x\in\{-4,-2,-1,1,2,4\}.$$

Dla tych sześciu wartości otrzymujemy odpowiednio punkty

$$(-4,0),\ (-2,-1),\ (-1,-3),\ (1,5),\ (2,3),\ (4,2).$$

Każdy z nich należy do wykresu. Innych punktów o obu współrzędnych całkowitych nie ma, ponieważ liczba całkowita $x$ musiałaby być innym dzielnikiem liczby $4$.

W pierwszym prostokącie krótszym bokiem jest $x$, więc jego stosunek boków wynosi $\frac{x}{x+4}$.

Jeśli $x>2$, to w drugim prostokącie krótszym bokiem jest $x+4$, a dłuższym $2x+2$. Otrzymujemy

$$\frac{x}{x+4}=\frac{x+4}{2x+2}.$$

Stąd

$$x(2x+2)=(x+4)^2,\qquad x^2-6x-16=0,$$ $$(x-8)(x+2)=0.$$

Warunek $x>2$ spełnia tylko $x=8$.

Gdy $0<x<2$, krótszym bokiem drugiego prostokąta jest $2x+2$. Równość stosunków prowadzi wtedy do

$$\frac{x}{x+4}=\frac{2x+2}{x+4},\qquad x=2x+2,\qquad x=-2,$$

co nie spełnia założenia. Dla $x=2$ drugi prostokąt jest kwadratem, więc stosunki także nie są równe.

Dla $x=8$ suma pól wynosi

$$8\cdot12+12\cdot18=96+216=312\ \mathrm{cm}^2.$$

Każda połowa trasy ma $70$ km. Pierwszą pociąg pokonuje z prędkością $v$, a drugą z prędkością $\frac v2$, zatem dla $v>0$

$$t=\frac{70}{v}+\frac{70}{\frac v2} =\frac{70}{v}+\frac{140}{v} =\frac{210}{v}.$$

Dla $v=120\ \mathrm{km/h}$ otrzymujemy

$$t=\frac{210}{120}=\frac74\ \mathrm h=1\frac34\ \mathrm h.$$

Trzy czwarte godziny to $45$ minut.

Niech $v$ oznacza prędkość prądu rzeki, gdzie $0<v<10$. Prędkość kajakarza z prądem wynosi $10+v$, a pod prąd $10-v$.

W tym samym czasie stosunek przebytych dróg jest równy stosunkowi prędkości. Droga z prądem jest o $50\%$ dłuższa, więc

$$10+v=1{,}5(10-v).$$

Rozwiązujemy równanie:

$$10+v=15-1{,}5v,\qquad 2{,}5v=5,\qquad v=2.$$

Wynik spełnia warunek $0<v<10$.