NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 174

Niech boki prostokąta $P_1$ mają długości $6k$ i $5k$. Liczba $2\frac23$ jest równa $\frac83$, więc po skróceniu boki prostokąta $P_2$ mają długości $6k-\frac83$ oraz $5k-\frac83$.

Dłuższy bok pozostaje dłuższy, zatem

$$\frac{6k-\frac83}{5k-\frac83}=\frac43.$$

Po pomnożeniu stronami otrzymujemy

$$3\left(6k-\frac83\right)=4\left(5k-\frac83\right),$$ $$18k-8=20k-\frac{32}{3},\qquad k=\frac43.$$

Obwód prostokąta $P_1$ wynosi

$$2(6k+5k)=22k=22\cdot\frac43=\frac{88}{3}=29\frac13.$$

Dziedzinę równania określają warunki $x\neq\frac12$ i $x\neq\frac23$. Mnożymy równanie stronami:

$$x(3x-2)=(x-1)(2x-1).$$

Po rozwinięciu nawiasów mamy

$$3x^2-2x=2x^2-3x+1,$$ $$x^2+x-1=0.$$

Pierwiastki tego równania to

$$x=\frac{-1-\sqrt5}{2} \quad\text{oraz}\quad x=\frac{-1+\sqrt5}{2}.$$

Dodatnim pierwiastkiem jest

$$x_1=\frac{\sqrt5-1}{2}.$$

Stosunek dłuższego boku do krótszego w pierwszym prostokącie wynosi

$$\frac1{x_1} =\frac{2}{\sqrt5-1} =\frac{\sqrt5+1}{2}.$$

W drugim prostokącie stosunek dłuższego boku $\frac{1+\sqrt5}{2}$ do krótszego boku $1$ jest taki sam. Odpowiednie boki obu prostokątów są więc proporcjonalne, co dowodzi ich podobieństwa.

Najpierw wyznaczamy miejsce zerowe funkcji:

$$\frac{14}{2x_0-1}-3=0,$$ $$14=3(2x_0-1),\qquad 6x_0=17,\qquad x_0=\frac{17}{6}.$$

Równanie ma więc postać

$$\left|x-\frac{17}{6}\right|+\left|x-\frac{11}{6}\right|=1.$$

Odległość między liczbami $\frac{11}{6}$ i $\frac{17}{6}$ jest równa $1$. Suma odległości liczby $x$ od obu tych punktów jest równa ich wzajemnej odległości dokładnie wtedy, gdy $x$ leży między nimi, wraz z końcami.

Dziedzinę określa warunek $x\neq-3$. Przenosimy $14$ na lewą stronę:

$$\frac{x^2+66}{x+3}-14 =\frac{x^2-14x+24}{x+3} =\frac{(x-2)(x-12)}{x+3}\leq0.$$

Punktami krytycznymi są $-3$, $2$ i $12$. Analiza znaków daje

$$x\in(-\infty;-3)\cup[2;12].$$

Naturalne rozwiązania mają najmniejszą wartość $a=2$ i największą wartość $b=12$. Zatem

$$\frac ab=\frac2{12}=\frac16.$$

Wyznaczamy najpierw zbiór $A$. Mamy

$$\frac{x^3-x^2-6x}{x^2-2x-8} =\frac{x(x-3)(x+2)}{(x-4)(x+2)}, \qquad x\neq-2,\ 4.$$

Po skróceniu czynnika $x+2$ pamiętamy o obu wykluczeniach. Analiza znaków wyrażenia

$$\frac{x(x-3)}{x-4}$$

daje

$$A=[0;3]\cup(4;\infty).$$

Dla zbioru $B$ licznik $x^2+4$ jest zawsze dodatni. Nierówność jest więc spełniona dokładnie wtedy, gdy mianownik jest ujemny:

$$x^2-4<0,\qquad B=(-2;2).$$

Usuwamy ze zbioru $A$ wszystkie elementy należące do $B$:

$$A\setminus B=[2;3]\cup(4;\infty).$$

Dla $x\neq m$ zapisujemy funkcję w postaci kanonicznej:

$$f(x)=\frac{mx-3}{m-x} =\frac{3-m^2}{x-m}-m.$$

Dla funkcji $h(x)=\frac{a}{x-p}+q$ pochodna ma postać

$$h'(x)=-\frac{a}{(x-p)^2}.$$

Tutaj $a=3-m^2$, więc

$$f'(x)=\frac{m^2-3}{(x-m)^2}.$$

Mianownik jest dodatni w dziedzinie. Funkcja jest rosnąca na obu przedziałach dziedziny dokładnie wtedy, gdy

$$m^2-3>0,$$

czyli gdy $m<-\sqrt3$ lub $m>\sqrt3$. Dla $m=\pm\sqrt3$ funkcja jest stała na swojej dziedzinie, więc nie jest rosnąca.

Odbicie wykresu względem prostej $x=-1$ zastępuje argument $x$ przez $-2-x$. Zatem

$$g(x)=f(-2-x) =\frac{10-2(-2-x)}{-2-x-2} =-\frac{2x+14}{x+4}, \qquad x\neq-4.$$

Wygodnie zapisujemy obie funkcje w postaci kanonicznej:

$$f(x)=-2+\frac6{x-2}, \qquad g(x)=-2-\frac6{x+4}.$$

Przy założeniach $x\neq-4,2$ otrzymujemy

$$f(x)-g(x) =\frac6{x-2}+\frac6{x+4} =\frac{12(x+1)}{(x-2)(x+4)}.$$

Punktami krytycznymi są $-4$, $-1$ i $2$. Analiza znaków daje

$$x\in(-4;-1]\cup(2;\infty).$$

Dziedzinę funkcji $f$ określają warunki $x\neq2$ i $x\neq3$. Dla tych argumentów

$$f(x)=\frac{x-2}{(x-2)(x-3)}=\frac1{x-3}.$$

Wykres $f$ jest więc wykresem hiperboli $y=\frac1{x-3}$ z asymptotami $x=3$ i $y=0$, ale z dodatkowym pustym punktem $(2,-1)$.

Funkcja $f$ jest ujemna dla $x<3$ i dodatnia dla $x>3$; nie ma miejsc zerowych w swojej dziedzinie. Dlatego

$$g(x)=\frac{f(x)}{|f(x)|} = \begin{cases} -1,&x\in(-\infty;2)\cup(2;3),\\ 1,&x\in(3;\infty). \end{cases}$$

Obie funkcje mają dziedzinę $\mathbb R\setminus\{2,3\}$.

Asymptota pozioma funkcji $\frac{ax+b}{x+3}$ ma równanie $y=a$. Przechodzi przez punkt $(2,-2)$, więc $a=-2$.

Miejsce zerowe $\frac12$ zeruje licznik:

$$-2\cdot\frac12+b=0,\qquad b=1.$$

Zatem

$$f(x)=\frac{-2x+1}{x+3},\qquad x\neq-3.$$

Rozwiązujemy nierówność:

$$\frac{-2x+1}{x+3}-x-\frac13\leq0.$$

Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika otrzymujemy

$$\frac{-x(3x+16)}{3(x+3)}\leq0,$$

czyli równoważnie

$$\frac{x(3x+16)}{x+3}\geq0.$$

Punktami krytycznymi są $-\frac{16}{3}$, $-3$ i $0$. Analiza znaków daje

$$x\in\left[-\frac{16}{3};-3\right)\cup[0;\infty).$$

Pierwszy samochód przejechał do miejsca spotkania $280$ km, a drugi

$$550-280=270\ \mathrm{km}.$$

Czas jazdy pierwszego samochodu wynosi $\frac{280}{v}$, a drugiego $\frac{270}{v+20}$. Drugi samochód wyruszył godzinę później, więc

$$\frac{280}{v}-\frac{270}{v+20}=1, \qquad v>0.$$

Mnożymy przez $v(v+20)$:

$$280(v+20)-270v=v(v+20),$$ $$v^2+10v-5600=0.$$

Rozkładamy trójmian:

$$(v-70)(v+80)=0.$$

Warunek $v>0$ spełnia tylko $v=70$. Drugi samochód jechał z prędkością

$$v+20=90\ \mathrm{km/h}.$$