NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 172

Dla $x=-\frac92$ otrzymujemy

$$P=\frac{-\frac12}{9-\frac{81}{4}} =\frac{-\frac12}{-\frac{45}{4}} =\frac{2}{45}>0,$$

natomiast

$$Q=\frac{\frac{81}{4}+\frac{27}{2}}{-\frac92-4} =\frac{\frac{135}{4}}{-\frac{17}{2}} =-\frac{135}{34}<0.$$

Wyrażenia mają różne znaki, więc pierwsze stwierdzenie jest fałszywe.

Dla $x=\frac92$ mamy

$$P=\frac{\frac{17}{2}}{9-\frac{81}{4}} =\frac{\frac{17}{2}}{-\frac{45}{4}} =-\frac{34}{45}<0,$$

ale

$$Q=\frac{\frac{81}{4}-\frac{27}{2}}{\frac92-4} =\frac{\frac{27}{4}}{\frac12} =\frac{27}{2}>0.$$

Także tym razem wyrażenia mają różne znaki, zatem drugie stwierdzenie jest fałszywe.

Rozkładamy mianownik i licznik na czynniki:

$$9-x^2=-(x-3)(x+3),\qquad x^2-3x=x(x-3).$$

Z zachowaniem dziedziny podanej w treści otrzymujemy

$$P\cdot Q =\frac{-(x+4)}{(x-3)(x+3)}\cdot\frac{x(x-3)}{x-4} =\frac{-x(x+4)}{(x+3)(x-4)} =\frac{-x^2-4x}{(x+3)(x-4)}.$$

Porównanie liczników daje $k=-4$.

Podstawiamy $x=-2$ do każdej funkcji:

$$\begin{aligned} \text{A: }&\frac{2(-2)-1}{-2-3}=1, &\text{B: }&\frac{-2+4}{2(-2)+2}=-1,\\ \text{C: }&\frac{-3(-2)+2}{-2+4}=4, &\text{D: }&\frac{-3(-2)-1}{2(-2)-5}=-\frac59,\\ \text{E: }&\frac{-2(-2)-1}{-2(-2)+3}=\frac37, &\text{F: }&\frac{-2-4}{-4(-2)-2}=-1. \end{aligned}$$

Wartość $-1$ otrzymujemy tylko w odpowiedziach B i F.

Dla pierwszego argumentu mamy

$$f(\sqrt2-1) =\frac{\sqrt2-2(\sqrt2-1)}{\sqrt2(\sqrt2-1)-2} =\frac{2-\sqrt2}{-\sqrt2} =1-\sqrt2.$$

Jest to odpowiedź D.

Dla drugiego argumentu otrzymujemy

$$f(\sqrt2+1) =\frac{\sqrt2-2(\sqrt2+1)}{\sqrt2(\sqrt2+1)-2} =\frac{-\sqrt2-2}{\sqrt2} =-1-\sqrt2.$$

Jest to odpowiedź A.

Punkt $(a,0)$ leży na osi $OX$, więc zerujemy licznik:

$$\sqrt2-2a=0,\qquad a=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Punkt $(0,b)$ leży na osi $OY$, zatem

$$b=f(0)=\frac{\sqrt2}{-2}=-\frac{\sqrt2}{2}.$$

Wobec tego

$$ab=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=-\frac12.$$