NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 171

Punkt $P(3,1)$ należy do obu wykresów. Stąd

$$\frac a3=1\iff a=3, \qquad 3b=1\iff b=\frac13.$$

Zatem

$$a+b=3+\frac13=3\frac13.$$

Dziedzina wyklucza $x=-1$ i $x=0$. Mnożymy przez $x(x+1)$:

$$x(x-1)=2(x+1) \iff x^2-3x-2=0.$$

Pierwiastki to

$$x=\frac{3-\sqrt{17}}2 \quad\text{lub}\quad x=\frac{3+\sqrt{17}}2.$$

Pierwszy z nich występuje w odpowiedzi D.

Ułamek jest równy zeru, gdy jego licznik jest równy zeru, a mianownik nie znika. Zatem

$$\frac23a-3=0\iff a=\frac92,$$ $$\frac32b-2=0\iff b=\frac43.$$

Obie wartości należą do odpowiednich dziedzin. Ich suma wynosi

$$a+b=\frac92+\frac43=\frac{35}{6}=5\frac56.$$

Rozkładamy liczniki i mianowniki:

$$F=\frac{(x+2)^2}{(x-2)(x+2)}=\frac{x+2}{x-2}, \qquad G=\frac{(x-3)^2}{(x-3)(x+3)}=\frac{x-3}{x+3},$$

przy zachowaniu wszystkich wyłączeń z podanej dziedziny. Iloczyn jest równy

$$F\cdot G =\frac{(x+2)(x-3)}{(x-2)(x+3)} =\frac{x^2-x-6}{x^2+x-6},$$

czyli wybieramy A. Iloraz ma postać

$$\frac FG =\frac{x+2}{x-2}\cdot\frac{x+3}{x-3} =\frac{x^2+5x+6}{x^2-5x+6},$$

co odpowiada pozycji 3.

Z definicji wartości bezwzględnej

$$x+\sqrt2=2\sqrt2 \quad\text{lub}\quad x+\sqrt2=-2\sqrt2.$$

Stąd

$$x=\sqrt2 \quad\text{lub}\quad x=-3\sqrt2.$$

Obie liczby są niewymierne, więc pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe. Liczba $-3\sqrt2$ jest mniejsza od $-2$, dlatego nie wszystkie rozwiązania należą do $(-2;2)$; drugie stwierdzenie jest fałszywe.