NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 170

Podstawiamy $x=3$. Warunek miejsca zerowego to

$$\frac{-4}{3-p}+q=0.$$

Dla odpowiedzi D, czyli $p=1$ i $q=2$, mamy

$$\frac{-4}{3-1}+2=-2+2=0.$$

Pozostałe pary nie spełniają warunku.

Funkcja $\frac{a}{x+2}$ jest rosnąca na każdym przedziale dziedziny wtedy i tylko wtedy, gdy $a<0$. Spośród podanych liczników tylko

$$1-\sqrt2<0.$$

Pozostałe: $6$, $2-\sqrt3$ i $-2+\sqrt5$ są dodatnie.

Ze skanu odczytujemy asymptotę pionową $x=2$, zatem $-b=2$ i $b=-2$. Miejsce zerowe $x=5$ spełnia

$$\frac{a}{5-2}+1=0 \iff \frac a3=-1 \iff a=-3.$$

Otrzymana para $(a,b)=(-3,-2)$ występuje w odpowiedzi D.

Sprawdzamy odpowiedź C:

$$f(x)=\frac{-3}{x-4}+1.$$

Dla obu podanych argumentów otrzymujemy

$$f(1)=\frac{-3}{-3}+1=2, \qquad f(3)=\frac{-3}{-1}+1=4.$$

Zatem zarówno $P$, jak i $Q$ leżą na tym wykresie.

Przenosimy drugi ułamek na prawą stronę i wyznaczamy $a$:

$$\frac{a(n+1)}{n+2}=\frac{n-2}{n-1},$$ $$a=\frac{(n-2)(n+2)}{(n-1)(n+1)} =\frac{n^2-4}{n^2-1}.$$

Jest to odpowiedź D. Dla równania obowiązuje $n\neq-2,1$, a przy wyznaczaniu $a$ również $n\neq-1$; dla $n=-1$ równanie wyjściowe jest sprzeczne.

Dziedzina wyklucza $x=-3$ i $x=-1$. Mnożymy równanie przez iloczyn mianowników:

$$(x+2)(x+1)=(x+4)(x+3).$$

Po rozwinięciu

$$x^2+3x+2=x^2+7x+12 \iff -4x=10 \iff x=-\frac52.$$

Otrzymana liczba należy do dziedziny.

Równanie z odpowiedzi B ma dziedzinę $x\neq-1$. Po pomnożeniu przez $x+1$ otrzymujemy

$$2-6x=(x-3)(x+1) \iff x^2+4x-5=0 \iff (x+5)(x-1)=0.$$

Rozwiązaniami są dokładnie $-5$ i $1$, a obie liczby należą do dziedziny. Dodatkowo A wyklucza $1$, zaś C wyklucza $-5$, więc nie mogą być poprawne.