NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 168

Niech $t>0$ oznacza czas wspólnej pracy w minutach. Pierwsza kopiarka sama wykonałaby tę pracę w czasie $3t$, a druga w czasie $t+4$. Suma ich wydajności jest wydajnością wspólnej pracy:

$$\frac1{3t}+\frac1{t+4}=\frac1t.$$

Po pomnożeniu przez $3t(t+4)$ otrzymujemy

$$t+4+3t=3(t+4)\iff t=8.$$

Niech $x,y>0$ oznaczają czasy samodzielnego sprawdzenia wszystkich testów. Ze wspólnej pracy mamy

$$\frac1x+\frac1y=\frac1{12}.$$

Sprawdzanie kolejno po połowie testów trwałoby

$$\frac{x}{2}+\frac{y}{2}=25,$$

czyli $x+y=50$. Pierwsze równanie daje wtedy $xy=600$. Liczby $x,y$ są zatem pierwiastkami równania

$$t^2-50t+600=0=(t-20)(t-30).$$

Niech $t>0$ będzie czasem napełniania zbiornika drugą, szybszą rurą, wyrażonym w minutach. Pierwsza rura potrzebuje $t+11$ minut. Ponieważ razem napełniają zbiornik w $30$ minut,

$$\frac1t+\frac1{t+11}=\frac1{30}.$$

Stąd

$$30(2t+11)=t(t+11) \iff t^2-49t-330=0 \iff (t-55)(t+6)=0.$$

Warunek $t>0$ pozostawia $t=55$.

Oznaczmy wydajności kranów przez $r_1,r_2,r_3$, mierzone w basenach na godzinę. Z treści:

$$r_1+r_2=\frac19,\qquad r_2+r_3=\frac1{12},\qquad r_1+r_3=\frac1{18}.$$

Po dodaniu równań otrzymujemy

$$2(r_1+r_2+r_3)=\frac19+\frac1{12}+\frac1{18}=\frac14.$$

Łączna wydajność wynosi więc $\frac18$ basenu na godzinę.

Niech $v>0$ oznacza prędkość autobusu w $\mathrm{km/h}$. Taksówka jedzie z prędkością $v+20$. Autobus jest w drodze o $5$ minut, czyli $\frac1{12}$ godziny, dłużej:

$$\frac{20}{v}=\frac{20}{v+20}+\frac1{12}.$$

Po uporządkowaniu:

$$v(v+20)=4800 \iff v^2+20v-4800=0 \iff (v-60)(v+80)=0.$$

Dodatnim rozwiązaniem jest $v=60$.

Niech $v>0$ oznacza prędkość autobusu. Prędkość pociągu wynosi $v+40$. Autobus wyruszył godzinę wcześniej i przyjechał $\frac16$ godziny później, więc jego czas jazdy jest o $1+\frac16=\frac76$ godziny dłuższy:

$$\frac{175}{v}-\frac{210}{v+40}=\frac76.$$

Po pomnożeniu przez $6v(v+40)$ i uproszczeniu:

$$v^2+70v-6000=0 \iff (v-50)(v+120)=0.$$

Zatem autobus jedzie $50\ \mathrm{km/h}$, a pociąg $90\ \mathrm{km/h}$.

Czas do spotkania wynosi $80$ minut, czyli $t=\frac43$ godziny. Niech $r>1$ będzie ilorazem prędkości pociągu pospiesznego i osobowego. Po spotkaniu pociąg osobowy ma do przejechania drogę pokonaną wcześniej przez pospieszny, dlatego jego całkowity czas jazdy wynosi

$$T_o=t(1+r).$$

Analogicznie czas pociągu pospiesznego to

$$T_p=t\left(1+\frac1r\right).$$

Różnica czasów jest równa $2$ godziny:

$$\frac43\left(r-\frac1r\right)=2 \iff 2r^2-3r-2=0.$$

Dodatni iloraz większy od $1$ to $r=2$. Zatem $T_o=\frac43(1+2)=4$ godziny.