NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 167

Punkty wspólne wykresów wyznaczamy rachunkowo, aby otrzymać ich dokładne współrzędne.

a) Przy $x\neq-1$ równanie ma postać

$$-x^2=\frac{-2}{x+1} \iff x^2(x+1)=2 \iff (x-1)(x^2+2x+2)=0.$$

Trójmian $x^2+2x+2$ ma wyróżnik $-4$, więc nie ma pierwiastków rzeczywistych. Wykresy przecinają się tylko dla $x=1$.

b) Oznaczmy $t=x-2$, gdzie $t\neq0$. Wtedy

$$2t^2=\frac1t+1 \iff 2t^3-t-1=0 \iff (t-1)(2t^2+2t+1)=0.$$

Drugi czynnik ma wyróżnik $-4$, zatem $t=1$, czyli $x=3$.

a) Dla $x\neq2$ wspólny mianownik jest niezerowy, więc

$$\frac{2x-2}{x-2}=\frac4{x-2} \iff 2x-2=4 \iff x=3.$$

Wykresy mają jeden punkt wspólny $(3,4)$.

b) Dla $x\neq-3$ otrzymujemy

$$\frac{x}{x+3}=\frac{-6-x}{x+3} \iff x=-6-x \iff x=-3.$$

Jedyna wartość uzyskana z równania jest wyłączona z dziedziny. Wykresy nie mają więc punktów wspólnych.

Z wykresu odczytujemy asymptoty $x=-1$ i $y=2$. Gałęzie mają orientację odpowiadającą współczynnikowi $-1$, a wykres przechodzi przez punkt $(0,1)$. Stąd

$$f(x)=-\frac1{x+1}+2.$$

a) Funkcja

$$g(x)=\frac{-x-3}{x+2}=-1-\frac1{x+2}$$

ma środek $(-2,-1)$. Środek wykresu $f$ to $(-1,2)$, zatem potrzebny jest wektor

$$[-2-(-1),-1-2]=[-1,-3].$$

b) Szukany środek jest punktem przecięcia podanych osi symetrii:

$$x-4=-x-2\iff x=1,\qquad y=-3.$$

Przesunięcie środka $(-1,2)$ do $(1,-3)$ ma wektor $[2,-5]$.

Na ujemnej gałęzi funkcji $f(x)=\frac4x$ wartość w punkcie $x=-8$ wynosi $-\frac12$. Dla $x\in(-8;0)$ wykres leży poniżej prostej $y=-\frac12$, natomiast dla $x<-8$ leży nad nią. Dodatnia gałąź również leży nad tą prostą. Zatem dokładnie żądany przedział otrzymujemy dla

$$m=-\frac12.$$

Rachunkowo:

$$\frac4x<-\frac12 \iff \frac4x+\frac12<0 \iff \frac{x+8}{2x}<0 \iff x\in(-8;0).$$

Dla $x\neq0$ równanie punktów wspólnych przyjmuje postać

$$\frac{x-m}{x}=mx \iff mx^2-x+m=0.$$

Jeżeli $m\neq0$, równanie kwadratowe ma dokładnie jeden pierwiastek, gdy

$$\Delta=1-4m^2=0,$$

czyli $m=-\frac12$ lub $m=\frac12$. Odpowiadające pierwiastki są równe $-1$ i $1$, więc należą do dziedziny. Dla $m=0$ pierwotne równanie ma postać $1=0$ i nie ma rozwiązania.

W każdym podpunkcie $x\neq0$.

a) Dla $m=0$ oba wykresy pokrywają się z osią $OX$ poza punktem $0$. Dla $m\neq0$ równanie daje $x^2=-1$, więc nie ma rozwiązań. Stąd $m\neq0$.

b) Dla $m=0$ wykresy mają nieskończenie wiele punktów wspólnych, a dla $m\neq0$ otrzymujemy $x^2=1$. Nie istnieje odpowiednia wartość $m$.

c) Równanie jest równoważne

$$(m-1)x^2=m.$$

Dla $m=1$ jest sprzeczne. Dla $m\neq1$ nie ma dopuszczalnego rozwiązania, gdy $\frac{m}{m-1}\leqslant0$; wartość $0$ prowadzi tylko do wyłączonego $x=0$. Otrzymujemy $m\in[0;1]$.

d) Równanie punktów wspólnych ma postać

$$x^2+mx-m+3=0,$$

a jego wyróżnik wynosi

$$\Delta=m^2+4m-12=(m+6)(m-2).$$

Brak pierwiastków zachodzi dokładnie dla $-6<m<2$.

Dwa różne ujemne pierwiastki równania kwadratowego wymagają $\Delta>0$, dodatniego iloczynu i ujemnej sumy pierwiastków.

a) Po przeniesieniu prawej strony mamy

$$(k+1)x^2-2kx+1-k=0.$$

Warunki przyjmują postać

$$k\neq-1,\qquad 8k^2-4>0,$$ $$\frac{1-k}{k+1}>0,\qquad \frac{2k}{k+1}<0.$$

Ich częścią wspólną jest $k\in\left(-1;-\frac{\sqrt2}{2}\right)$.

b) Dla równania

$$(k-1)x^2-(2k-1)x+k-2=0$$

otrzymujemy

$$k\neq1,\qquad \Delta=8k-7>0,$$ $$\frac{k-2}{k-1}>0,\qquad \frac{2k-1}{k-1}<0.$$

Po przecięciu warunków dostajemy $k\in\left(\frac78;1\right)$.

Wyrażenie pod pierwiastkiem musi być nieujemne dla każdego $x$:

$$q(x)=(k-1)x^2+(4k-2)x+5k-1.$$

Dla $k>1$ parabola ma ramiona skierowane w górę. Warunkiem $q(x)\geqslant0$ dla wszystkich $x$ jest wtedy $\Delta\leqslant0$. Mamy

$$\Delta=(4k-2)^2-4(k-1)(5k-1)=4k(2-k).$$

Przy $k>1$ nierówność $4k(2-k)\leqslant0$ daje $k\geqslant2$. Dla $k=1$ radikand jest funkcją liniową $2x+4$, więc nie jest nieujemny na całej osi. Dla $k<1$ współczynnik przy $x^2$ jest ujemny, zatem również nie można otrzymać całej dziedziny rzeczywistej.

Proste o współczynnikach kierunkowych $a_1,a_2$ są równoległe, gdy $a_1=a_2$, a prostopadłe, gdy $a_1a_2=-1$.

a) Zakładamy $m\neq1,-2$. Dla równoległości:

$$\frac{-m}{m-1}=\frac{1-m}{m+2} \iff m(m+2)=(m-1)^2 \iff m=\frac14.$$

Dla prostopadłości:

$$\frac{-m}{m-1}\cdot\frac{1-m}{m+2} =\frac{m}{m+2}=-1 \iff m=-1.$$

b) Zakładamy $m\neq-1,1$. Pierwszy współczynnik zapisujemy jako $-\frac1{(m-1)(m+1)}$. Równanie równoległości prowadzi do

$$-1=(m+1)^2,$$

więc nie ma rozwiązań rzeczywistych. Dla prostopadłości:

$$-\frac1{(m-1)^2}=-1 \iff (m-1)^2=1,$$

stąd $m=0$ lub $m=2$.

a) Ponieważ $x^2+1>0$, licznik $mx+2$ musi być dodatni dla każdego $x$. Jest to możliwe wyłącznie dla $m=0$.

b) Trójmian $3x^2-2x+1$ jest zawsze dodatni, bo ma dodatni współczynnik wiodący i wyróżnik $-8$. Mianownik musi więc być ściśle ujemny dla każdego $x$. Dla $-x^2+mx-1$ warunek ten ma postać

$$\Delta=m^2-4<0,$$

czyli $m\in(-2;2)$.

c) Mianownik $-x^2+x-2$ jest zawsze ujemny, ponieważ jego wyróżnik wynosi $-7$. Po dodaniu $2$ do lewej strony mamy

$$\frac{-2x^2+(m-1)x-1}{-x^2+x-2}>0.$$

Licznik musi być ściśle ujemny dla każdego $x$, zatem

$$(m-1)^2-8<0 \iff 1-2\sqrt2<m<1+2\sqrt2.$$