NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 166

Sprowadzamy każdą nierówność do znaku jednego ilorazu i badamy przedziały wyznaczone przez zera licznika oraz mianownika.

a) Punkty krytyczne to $3$ (wykluczony) i $5$ (zero licznika). Znak jest nieujemny na

$$(-\infty;3)\cup[5;\infty).$$

b) Punkty krytyczne to $-6$ i $-2$; iloraz jest ujemny między nimi:

$$(-6;-2).$$

c)

$$\frac{x-3}{x+1}-\frac12 =\frac{x-7}{2(x+1)}\geqslant0.$$

Stąd $x\in(-\infty;-1)\cup[7;\infty)$.

d)

$$\frac{x+2}{x-1}+2=\frac{3x}{x-1}<0,$$

więc $x\in(0;1)$.

e)

$$x-\frac1x=\frac{(x-1)(x+1)}x<0.$$

Punkty krytyczne to $-1,0,1$, a rozwiązaniem jest $(-\infty;-1)\cup(0;1)$.

f)

$$x+\frac1x-2=\frac{(x-1)^2}{x}\geqslant0.$$

Licznik jest nieujemny, a $x=0$ jest wykluczone, zatem rozwiązaniem jest $(0;\infty)$.

Układamy punkty krytyczne rosnąco i uwzględniamy ich krotności.

a) Dla $\frac{x(x+3)}{x-2}\leqslant0$ punktami krytycznymi są $-3,0,2$. Otrzymujemy

$$(-\infty;-3]\cup[0;2).$$

b) Punkty $0,\frac43,5$ dają

$$\left(0;\frac43\right]\cup(5;\infty).$$

c) Dla punktów $-2,-1,0,1$ znaki zmieniają się przy każdym z nich, a nierówność jest ostra:

$$(-2;-1)\cup(0;1).$$

d) Punkty krytyczne to $-3,-1,0,\frac12$. Analiza znaku daje

$$(-\infty;-3)\cup(-1;0)\cup\left(\frac12;\infty\right).$$

e) Zero $x=0$ ma parzystą krotność, więc znak się tam nie zmienia. Dla punktów $-2,-\frac23,0,6$ otrzymujemy

$$\left[-2;-\frac23\right)\cup\{0\}\cup(6;\infty).$$

f) Czynnik $3x-2$ skraca się z $6x-4=2(3x-2)$ tylko przy zachowaniu wyłączenia $x=\frac23$:

$$\frac{(x+5)(3x-2)}{x^3(6x-4)} =\frac{x+5}{2x^3}.$$

Iloraz jest niedodatni dla $x\in[-5;0)$.

a)

$$\frac{(2x-1)^2}{(2x-1)(2x+1)}leqslant0, \qquad x\ne\pm\frac12.$$

Po zachowaniu obu wyłączeń analiza znaku daje $x\in(-\frac12;\frac12)$.

b) Mianownik $x^2-5x+10$ ma wyróżnik $-15$, więc jest zawsze dodatni. Warunek sprowadza się do $x^2-1\geqslant0$, zatem $x\in(-\infty;-1]\cup[1;\infty)$.

c) Dla punktów krytycznych $-2,0,4$ iloraz jest ujemny na

$$(-\infty;-2)\cup(0;4).$$

d) Rozkład mianownika to $2(x-2)(x+2)$. Punkty $-2,\frac12,2$ dają

$$\left(-2;\frac12\right)\cup(2;\infty).$$

e)

$$\frac{(x-3)(x+1)}{x(x+2)}\geqslant0.$$

Dla punktów $-2,-1,0,3$ otrzymujemy

$$(-\infty;-2)\cup[-1;0)\cup[3;\infty).$$

f)

$$\frac{(x+2)(x-1)}{(x+3)(x-1)}\leqslant0, \qquad x\ne-3,1.$$

Po skróceniu zachowujemy oba wyłączenia. Rozwiązaniem jest $x\in(-3;-2]$.

a) Dla $x\ne\pm3$ przenosimy prawą stronę:

$$\frac1{x-3}-\frac1{x+3} =\frac6{(x-3)(x+3)}<0.$$

Mianownik jest ujemny między swoimi zerami, więc $x\in(-3;3)$.

b) Po odjęciu $2$ od obu stron:

$$\left(\frac{x-2}{x-5}-1\right) +\left(\frac{x-3}{x-1}-1\right)>0,$$

czyli

$$\frac3{x-5}-\frac2{x-1} =\frac{x+7}{(x-5)(x-1)}>0.$$

Punkty krytyczne $-7,1,5$ dają $x\in(-7;1)\cup(5;\infty)$.

c) Przy $x\ne-2,0,2$ wspólny mianownik daje

$$\frac{(x+3)(x+2)-(x-1)(x-2)}{x(x-2)(x+2)} =\frac{4(2x+1)}{x(x-2)(x+2)}\geqslant0.$$

Dla punktów $-2,-\frac12,0,2$ otrzymujemy

$$(-\infty;-2)\cup\left[-\frac12;0\right)\cup(2;\infty).$$

a) Najpierw wyznaczamy zbiory $A$ i $B$.

$$x\geqslant\frac4x \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{(x-2)(x+2)}x\geqslant0,$$

więc

$$A=[-2;0)\cup[2;\infty).$$

Ponadto

$$\frac{x-7}{x-4}\leqslant2 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{x-1}{x-4}\geqslant0,$$

zatem

$$B=(-\infty;1]\cup(4;\infty).$$

Stąd

$$\begin{aligned} A\cup B&=(-\infty;1]\cup[2;\infty),\\ A\cap B&=[-2;0)\cup(4;\infty),\\ A\setminus B&=[2;4]. \end{aligned}$$

b)

$$\frac{x^2+1}{x+1}<1 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{x(x-1)}{x+1}<0,$$

więc $A=(-\infty;-1)\cup(0;1)$. Dla zbioru $B$ czynnik $(x-2)^2$ ma parzystą krotność, dlatego

$$B=(-\infty;-2)\cup[-1;\infty).$$

Ostatecznie

$$\begin{aligned} A\cup B&=\mathbb R,\\ A\cap B&=(-\infty;-2)\cup(0;1),\\ A\setminus B&=[-2;-1). \end{aligned}$$

Rozpatrujemy przedziały wyznaczone przez miejsca zmiany znaków wyrażeń pod wartościami bezwzględnymi.

a) Dla $x\geqslant0$ mamy $6x=3$, więc $x=\frac12$. Dla $x<0$ mamy $-2x=3$, więc $x=-\frac32$.

b) Dla $x\geqslant-3$ lewa strona wynosi $3$, więc rozwiązań nie ma. Dla $x<-3$ otrzymujemy $-2x-3=7$, zatem $x=-5$.

c) Dla $x\leqslant1$ równanie daje $2-x=x$, więc $x=1$. Dla każdego $x\geqslant1$ lewa strona jest równa $x$. Zatem $x\in[1;\infty)$.

d) Suma odległości liczby $x$ od $1$ i $3$ jest równa odległości między tymi punktami, czyli $2$, dokładnie dla $x\in[1;3]$.

e) Na przedziałach wyznaczonych przez $\frac12$ i $5$ otrzymujemy odpowiednio równania $6-3x=6$, $x+4=6$ oraz $3x-6=6$. Warunki przedziałów spełniają tylko $x=0$ i $x=2$.

f) Punkty podziału to $-6$ i $\frac13$. Po usunięciu modułów otrzymujemy kolejno $7-2x=-3$, $-4x-5=-3$ i $2x-7=-3$. Warunki właściwych przedziałów spełniają $x=-\frac12$ i $x=2$.

g) Suma odległości od $1$ i $5$ jest równa $4$ dokładnie dla $x\in[1;5]$.

h) Na przedziałach $(-\infty;-1]$, $[-1;1]$, $[1;\infty)$ otrzymujemy odpowiednio $-5x-3=2$, $3x+5=2$, $5x+3=2$. Jedyną dopuszczalną wartością jest $x=-1$.

i) Prawa strona musi być nieujemna, więc $x\in[2;6]$. Na $[2;4]$ równanie ma postać $7-x=x-2$ i daje $x=\frac92$, poza tym przedziałem. Na $[4;6]$ otrzymujemy sprzeczność $7-x=6-x$. Brak rozwiązań.

Szukamy dodatnich liczb naturalnych należących do odpowiednich zbiorów rozwiązań.

a) Z $0<3/(8-x)$ wynika $x<8$. Ponieważ prawa strona $1/x$ ma być dodatnia, $x>0$. Możemy pomnożyć przez dodatnie $x(8-x)$:

$$3x\leqslant8-x\quad\Longleftrightarrow\quad x\leqslant2.$$

Stąd $x\in\{1,2\}$.

b)

$$\left|\frac5{x-4}\right|>2 \quad\Longleftrightarrow\quad 0<|x-4|<\frac52.$$

Z dodatnich liczb naturalnych warunek spełniają $2,3,5,6$.

c) Dla $x>0$ nierówność

$$\left|\frac{x-10}{x}\right|\geqslant1$$

jest równoważna $|x-10|\geqslant x$. Możliwy warunek $x-10\leqslant-x$ daje $x\leqslant5$; drugi jest sprzeczny. Zatem $x\in\{1,2,3,4,5\}$.

a) Niech $y=f(x)$. Wtedy

$$y=\frac{2x+1}{4x-1}-1 \quad\Longleftrightarrow\quad y(4x-1)=-2x+2.$$

Stąd

$$(4y+2)x=y+2.$$

Dla $y\ne-\frac12$ istnieje dokładnie jedno odpowiednie $x$, natomiast dla $y=-\frac12$ równanie jest sprzeczne. Zatem $W_f=\mathbb R\setminus\{-\frac12\}$.

b) Skan strony podaje $\sqrt3\,x-1$, a nie pierwiastek obejmujący całe $3x-1$. Dla $y=f(x)$ mamy

$$y(x+3)=\sqrt3\,x-1,$$

czyli

$$(y-\sqrt3)x=-1-3y.$$

Każde $y\ne\sqrt3$ jest osiągane, natomiast dla $y=\sqrt3$ powstaje sprzeczność. Stąd $W_f=\mathbb R\setminus\{\sqrt3\}$.

c)

$$f(x)=\frac{x}{x+2}+\sqrt2 =1+\sqrt2-\frac2{x+2}.$$

Ułamek $-2/(x+2)$ nigdy nie jest zerem i przyjmuje każdą inną wartość, więc

$$W_f=\mathbb R\setminus\{1+\sqrt2\}.$$

Współrzędne przecięć wyznaczamy algebraicznie, a następnie można je zaznaczyć na wspólnych wykresach.

a)

$$\frac1x=x\quad\Longleftrightarrow\quad x^2=1,$$

więc $x=-1$ lub $x=1$.

b)

$$\frac4x=\frac12x+1 \quad\Longleftrightarrow\quad x^2+2x-8=0.$$

Stąd $x=-4$ lub $x=2$.

c) Dla $x\geqslant0$ równanie ma postać

$$\frac2{x-1}=x \quad\Longleftrightarrow\quad x^2-x-2=0,$$

co daje dopuszczalne $x=2$. Dla $x<0$ otrzymujemy $2/(x-1)=-x$, czyli $x^2-x+2=0$, bez rozwiązań rzeczywistych.

d) Dla $x\ne1$ funkcja

$$g(x)=\frac{(x-1)^2}{x-1}=x-1$$

ma w punkcie $(1,0)$ wyłączenie. Równanie

$$\frac1x-1=x-1$$

daje $x^2=1$. Wartość $x=1$ jest wykluczona z dziedziny $g$, więc pozostaje $x=-1$.