NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 165

W każdym podpunkcie najpierw wykluczamy zera mianowników, a następnie usuwamy mianowniki.

a) $x\ne1$ i $x=2(x-1)$, stąd $x=2$.

b) $x\ne3$ i $x+1=3-x$, więc $x=1$.

c) $x\ne0$ i $2x-7=-5x$, zatem $x=1$.

d) $x\ne-2$ oraz

$$-x=x(x+2)\quad\Longleftrightarrow\quad x(x+3)=0,$$

więc $x=-3$ lub $x=0$.

e) $x\ne4$ i

$$x=(x-3)(x-4) \quad\Longleftrightarrow\quad x^2-8x+12=0,$$

skąd $x=2$ lub $x=6$.

f) $x\ne-5$. Lewa strona upraszcza się do $2$, więc $2=x-2$ i $x=4$.

g) $x\ne-2,-1$ oraz

$$(x-1)(x+1)=(2-x)(x+2) \quad\Longleftrightarrow\quad 2x^2=5.$$

Zatem $x=\pm\frac{\sqrt{10}}2$.

h) $x\ne-2,2$. Po przeniesieniu jednego ułamka otrzymujemy

$$(x+4)(x+2)=(x-4)(x-2),$$

czyli $12x=0$ i $x=0$.

i) $x\ne1,-2$. Mnożymy przez $(1-x)(x+2)$:

$$(x-3)(x+2)+(x+6)(1-x)=0.$$

Po rozwinięciu pozostaje $-6x=0$, zatem $x=0$.

Ułamek wymierny jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy licznik jest zerem, a mianownik nie jest zerem.

a) Licznik $x(x+6)$ ma zera $0,-6$, ale mianownik $x(x-6)$ wyklucza $0,6$. Zostaje $x=-6$.

b) Licznik $(x-2)(x+2)$, mianownik $x(x+2)$; dziedzina wyklucza $0,-2$, więc $x=2$.

c) Licznik $x(x-3)$, mianownik $2(x-3)(x+3)$; wykluczamy $-3,3$, zatem $x=0$.

d) Licznik $x^2(x-2)$, mianownik $(x-2)^2$; $x=2$ jest wykluczone, więc jedynym rozwiązaniem jest $x=0$.

e) Licznik $(2x-3)^2$ zeruje się tylko dla $x=\frac32$, ale ta wartość zeruje również mianownik $x(3-2x)$. Równanie jest sprzeczne.

f)

$$8x^2-2=2(2x-1)(2x+1),\qquad 4x^2+4x+1=(2x+1)^2.$$

Wykluczamy $x=-\frac12$, zatem pozostaje $x=\frac12$.

g) Licznik $(x-4)(x+2)$ ma zera $-2,4$, a mianownik $(x-2)(x+1)$ ich nie wyklucza. Obie wartości są rozwiązaniami.

h) Licznik $(x-3)(x-4)$, mianownik $(x-2)(x-4)$; $x=4$ jest wykluczone, więc $x=3$.

i) Licznik $(3x+1)(x+2)$, mianownik $(2x+1)(x+2)$; wykluczamy $-\frac12,-2$, więc pozostaje $x=-\frac13$.

Dziedzinę ustalamy przed skracaniem.

a) $x+1\ne0$, więc $D=\mathbb R\setminus\{-1\}$, a

$$\frac{x^2-1}{x+1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x+1}=x-1.$$

b) $x(x-3)\ne0$, więc $D=\mathbb R\setminus\{0,3\}$ oraz

$$\frac{x(x+3)}{x(x-3)}=\frac{x+3}{x-3}.$$

c) $(x+2)(x+3)\ne0$, stąd $D=\mathbb R\setminus\{-3,-2\}$ i

$$\frac{x+2}{(x+2)(x+3)}=\frac1{x+3}.$$

d) Korzystamy z sumy sześcianów:

$$x^3+125=(x+5)(x^2-5x+25).$$

Zatem $D=\mathbb R\setminus\{-5\}$ i

$$\frac{x+5}{x^3+125}=\frac1{x^2-5x+25}.$$

Mamy

$$f(x)=\frac{a-x}{x}=\frac ax-1,\qquad x\ne0,$$

więc wykres ma asymptoty $x=0$ i $y=-1$.

Przecięcie z $y=2$ spełnia

$$\frac{a-x}{x}=2\quad\Longleftrightarrow\quad x=\frac a3,$$

czyli ma współrzędne $(a/3,2)$. Przecięcie z $y=x$ spełnia

$$\frac{a-x}{x}=x\quad\Longleftrightarrow\quad x^2+x-a=0.$$

a) Dla $a=2$: z $y=2$ mamy $(\frac23,2)$, a równanie $x^2+x-2=0$ daje punkty $(1,1)$ i $(-2,-2)$.

b) Dla $a=-1$: z $y=2$ mamy $(-\frac13,2)$. Równanie $x^2+x+1=0$ nie ma rozwiązań rzeczywistych.

c) Dla $a=1$: z $y=2$ mamy $(\frac13,2)$. Równanie $x^2+x-1=0$ daje

$$x=\frac{-1\pm\sqrt5}{2},$$

zatem dwa punkty $(x,x)$ o tych współrzędnych.

d) Dla $a=-2$: z $y=2$ mamy $(-\frac23,2)$. Równanie $x^2+x+2=0$ nie ma rozwiązań rzeczywistych.

a) Zapisujemy funkcje w postaci przesuniętych hiperbol:

$$f(x)=\frac{x}{x+2}=1-\frac2{x+2}, \qquad g(x)=\frac{3x-4}{x-2}=3+\frac2{x-2}.$$

Funkcja $f$ ma asymptoty $x=-2$, $y=1$, więc odpowiada wykresowi II. Funkcja $g$ ma asymptoty $x=2$, $y=3$, więc odpowiada wykresowi I. Miejsca zerowe wynikają z liczników:

$$x_f=0,\qquad 3x_g-4=0\Longrightarrow x_g=\frac43.$$

b) Dla $g(x)=x$, przy $x\ne2$:

$$\frac{3x-4}{x-2}=x \quad\Longleftrightarrow\quad x^2-5x+4=0,$$

stąd $x=1$ lub $x=4$.

Dla $f(x)=-x$, przy $x\ne-2$:

$$\frac{x}{x+2}=-x \quad\Longleftrightarrow\quad x(x+3)=0,$$

więc $x=-3$ lub $x=0$.

a) Dla $x>0$ rozwiązujemy $1/x>1$. Mianownik jest dodatni, więc $1>x$, czyli $0<x<1$.

Dla $x<0$ mamy $-1/x>1$. Po pomnożeniu przez ujemne $x$ znak nierówności się odwraca:

$$-1<x<0.$$

Łącznie otrzymujemy $(-1;0)\cup(0;1)$.

b) Dla $x\leqslant-1$ rozwiązujemy $-2/x>1$. Ponieważ $x<0$, otrzymujemy $-2<x$, a więc $x\in(-2;-1]$.

Dla $x>-1$ mianownik $x+2$ jest dodatni. Z nierówności

$$\frac2{x+2}>1$$

wynika $2>x+2$, czyli $x<0$. W tej gałęzi dostajemy $x\in(-1;0)$. Suma obu części to $(-2;0)$.

W każdym przypadku uwzględniamy dziedzinę i usuwamy mianownik.

a) Dla $x\ne0$:

$$\frac{x-1}{x}=x \Longleftrightarrow x^2-x+1=0.$$

Wyróżnik wynosi $-3$, więc brak rozwiązań rzeczywistych.

b) Dla $x\ne1$:

$$x+3=x(x-1) \Longleftrightarrow x^2-2x-3=0,$$

stąd $x=-1$ lub $x=3$.

c) Dla $x\ne1$:

$$x=x(1-x)\Longleftrightarrow x^2=0,$$

więc $x=0$.

d) Dla $x\ne-1$:

$$2x-1=x(x+1) \Longleftrightarrow x^2-x+1=0.$$

Wyróżnik jest ujemny, zatem brak rozwiązań.

e) Dla $x\ne-3$:

$$2+\frac{x+1}{x+3}=x \Longleftrightarrow x+1=(x-2)(x+3).$$

Po uproszczeniu $x^2=7$, więc $x=\pm\sqrt7$.

f) Najpierw zapisujemy

$$-\frac{2-x}{1-x}=\frac{x-2}{1-x},\qquad x\ne1.$$

Równanie z $x$ daje

$$x-2=x(1-x)\Longleftrightarrow x^2=2,$$

zatem $x=\pm\sqrt2$.