NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 164

Z zaznaczonego punktu $(2,3)$ odczytujemy

$$3=f(2)=\frac a2,$$

więc $a=6$ i $f(x)=\frac6x$ dla $x\ne0$.

a) Punkt $(x,y)$ należy do wykresu wtedy i tylko wtedy, gdy $xy=6$. Mamy

$$(-8)\left(-\frac34\right)=6, \qquad \frac12\cdot12=6, \qquad \sqrt2\cdot\sqrt3=\sqrt6\ne6.$$

Do wykresu należą zatem punkty $P$ i $Q$, natomiast $R$ nie należy.

b) Rozwiązujemy nierówność

$$\frac6x>-3 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{3(x+2)}x>0.$$

Punkty krytyczne to $-2$ i $0$. Iloraz jest dodatni dla $x\in(-\infty;-2)\cup(0;\infty)$.

c)

$$\frac6x\leqslant4 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{6-4x}{x}\leqslant0.$$

Licznik zeruje się dla $x=\frac32$, a $x=0$ jest wykluczony. Analiza znaku daje

$$x\in(-\infty;0)\cup\left[\frac32;\infty\right).$$

Każdy wykres $g$ otrzymujemy z odpowiedniego wykresu $f$ przez przesunięcie. Wyłączenie z dziedziny wyznacza asymptotę pionową, a stała dodana poza ułamkiem — asymptotę poziomą.

a) $g(x)=\frac4x+1$: przesunięcie o wektor $[0,1]$,

$$D_g=\mathbb R\setminus\{0\},\qquad x=0,\quad y=1.$$

b) $g(x)=-\frac3x-2$: przesunięcie o $[0,-2]$,

$$D_g=\mathbb R\setminus\{0\},\qquad x=0,\quad y=-2.$$

c) $g(x)=\frac1{x-4}$: przesunięcie o $[4,0]$,

$$D_g=\mathbb R\setminus\{4\},\qquad x=4,\quad y=0.$$

d) $g(x)=-\frac1{x+2}$: przesunięcie o $[-2,0]$,

$$D_g=\mathbb R\setminus\{-2\},\qquad x=-2,\quad y=0.$$

Te przesunięcia jednoznacznie wyznaczają wymagane szkice.

Funkcja $a/(x-p)+q$, gdzie $a\ne0$, ma dziedzinę $\mathbb R\setminus\{p\}$ i zbiór wartości $\mathbb R\setminus\{q\}$.

a)

$$\begin{aligned} D_f&=\mathbb R\setminus\{0\}, & W_f&=\mathbb R\setminus\{0\},\\ D_g&=\mathbb R\setminus\{1\}, & W_g&=\mathbb R\setminus\{0\},\\ D_h&=\mathbb R\setminus\{1\}, & W_h&=\mathbb R\setminus\{1\}. \end{aligned}$$

b)

$$\begin{aligned} D_f&=\mathbb R\setminus\{0\}, & W_f&=\mathbb R\setminus\{0\},\\ D_g&=\mathbb R\setminus\{-1\}, & W_g&=\mathbb R\setminus\{0\},\\ D_h&=\mathbb R\setminus\{-1\}, & W_h&=\mathbb R\setminus\{-1\}. \end{aligned}$$

c)

$$\begin{aligned} D_f&=\mathbb R\setminus\{0\}, & W_f&=\mathbb R\setminus\{0\},\\ D_g&=\mathbb R\setminus\{-2\}, & W_g&=\mathbb R\setminus\{0\},\\ D_h&=\mathbb R\setminus\{-2\}, & W_h&=\mathbb R\setminus\{3\}. \end{aligned}$$

Szkice otrzymujemy, przesuwając hiperbolę $a/x$ zgodnie z wartościami $p$ i $q$.

Przesunięcie wykresu $g(x)=1/x$ o wektor $[p,q]$ daje funkcję $g(x-p)+q=1/(x-p)+q$.

a)

$$f(x)=\frac1{x+3}+3=\frac1{x-(-3)}+3,$$

więc wektor ma postać $[-3,3]$.

b)

$$f(x)=\frac1{x-4}+1,$$

zatem wektor to $[4,1]$.

c) Dzieląc licznik przez mianownik, otrzymujemy

$$\frac{x}{x-1}=1+\frac1{x-1}.$$

Jest to przesunięcie o wektor $[1,1]$.

Po przesunięciu wykresu funkcji $f$ o wektor $[p,q]$ nowa funkcja ma wzór $g(x)=f(x-p)+q$.

a) Dla $p=-2$ i $q=3$:

$$g(x)=f(x+2)+3=\frac2{x+2}+3.$$

b) Dla $p=2$ i $q=-3$:

$$g(x)=f(x-2)-3=-\frac1{x-2}-3.$$

Asymptoty tych funkcji wyznaczają położenie szkiców.

Przekształcamy każde równanie algebraicznie, pamiętając o niezerowych mianownikach.

a)

$$\frac ma=\frac2b \quad\Longrightarrow\quad mb=2a \quad\Longrightarrow\quad b=\frac{2a}{m}.$$

b)

$$\frac Ee=\frac{R+r}{r} \quad\Longrightarrow\quad Er=eR+er \quad\Longrightarrow\quad r=\frac{eR}{E-e}.$$

c)

$$\frac ma-2-\frac1a=n \quad\Longrightarrow\quad \frac{m-1}{a}=n+2 \quad\Longrightarrow\quad a=\frac{m-1}{n+2}.$$

d)

$$m\left(m-\frac2a\right)=2 \quad\Longrightarrow\quad m^2-\frac{2m}{a}=2 \quad\Longrightarrow\quad a=\frac{2m}{m^2-2}.$$

e)

$$S=\frac{a_1}{1-q} \quad\Longrightarrow\quad S(1-q)=a_1 \quad\Longrightarrow\quad q=1-\frac{a_1}{S}.$$

f)

$$S=\frac{a_1-a_1q^n}{1-q} =\frac{a_1(1-q^n)}{1-q} \quad\Longrightarrow\quad a_1=\frac{S(1-q)}{1-q^n}.$$

Wzory obowiązują przy parametrach, dla których występujące mianowniki są niezerowe.