NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 163

Do chwili spotkania szybszy rowerzysta przejechał $4\cdot12=48\ \text{km}$, a wolniejszy $3\cdot12=36\ \text{km}$. Jechali tyle samo czasu, więc stosunek ich prędkości wynosi $48:36=4:3$.

Niech prędkość wolniejszego będzie równa $3k$, a szybszego $4k$. Różnica wynosi $5\ \text{km/h}$, zatem

$$4k-3k=5,$$

czyli $k=5$. Otrzymujemy prędkości $15\ \text{km/h}$ i $20\ \text{km/h}$.

Niech $v>0$ oznacza prędkość rozkładową. Zwiększenie prędkości na ostatnich $120\ \text{km}$ miało zaoszczędzić pół godziny, więc

$$\frac{120}{v}-\frac{120}{v+20}=\frac12.$$

Po pomnożeniu przez $2v(v+20)$ dostajemy

$$240(v+20)-240v=v(v+20),$$

czyli

$$v^2+20v-4800=0.$$

Pierwiastki to $v=60$ i $v=-80$. Prędkość musi być dodatnia, zatem $v=60\ \text{km/h}$.

Niech $v>0$ oznacza prędkość wolniejszego rowerzysty. Szybszy jechał z prędkością $v+6$. Różnica czasów przejazdu wynosiła godzinę:

$$\frac{36}{v}-\frac{36}{v+6}=1.$$

Stąd

$$36(v+6)-36v=v(v+6),$$

więc $v^2+6v-216=0$. Pierwiastki to $12$ i $-18$; odrzucamy ujemny. Prędkości wynosiły zatem $12\ \text{km/h}$ i $18\ \text{km/h}$.

Niech $v>0$ będzie prędkością na polnej drodze. Na szosie Tomek jechał z prędkością $v+20$. Łączny czas to $2\ \text{h}\ 40\ \text{min} =\frac83\ \text{h}$, zatem

$$\frac{20}{v}+\frac{32}{v+20}=\frac83.$$

Po usunięciu mianowników:

$$60(v+20)+96v=8v(v+20),$$

czyli $2v^2+v-300=0$. Pierwiastki to $v=12$ i $v=-\frac{25}{2}$. Odrzucamy wartość ujemną. Na polnej drodze prędkość wynosiła $12\ \text{km/h}$, a na szosie $32\ \text{km/h}$.

a) Niech $v>0$ oznacza rzeczywistą prędkość samochodu. Skrócenie czasu o $54\ \text{min}=\frac9{10}\ \text{h}$ daje równanie

$$\frac{120}{v}-\frac{120}{v+30}=\frac9{10}.$$

Stąd $v(v+30)=4000$, czyli $v^2+30v-4000=0$. Pierwiastki to $50$ i $-80$, zatem $v=50\ \text{km/h}$.

b) Czas przejazdu z $A$ do $B$ wynosi $240/v$. W drodze powrotnej samochód przez godzinę przejechał $v$ kilometrów, a pozostałe $240-v$ kilometrów z prędkością $\frac32v$. Ponieważ powrót trwał o godzinę krócej,

$$1+\frac{240-v}{\frac32v}=\frac{240}{v}-1.$$

Mnożąc przez $3v$, otrzymujemy

$$3v+2(240-v)=720-3v,$$

zatem $4v=240$ i $v=60\ \text{km/h}$. Warunek $240-v>0$ jest spełniony.

a) Niech odległość między miastami wynosi $s>0$, a prędkość powrotna $v>0$. Cała droga ma długość $2s$, a łączny czas wynosi $s/40+s/v$. Warunek średniej $60\ \text{km/h}$ ma postać

$$\frac{2s}{\frac{s}{40}+\frac{s}{v}}=60.$$

Po skróceniu przez $s$:

$$\frac{2}{\frac1{40}+\frac1v}=60,$$

stąd $\frac1v=\frac1{30}-\frac1{40}=\frac1{120}$, więc $v=120\ \text{km/h}$.

b) Dla tej samej odległości $s$ w obie strony łączna droga wynosi $2s$, a czas

$$t=\frac{s}{v_1}+\frac{s}{v_2}.$$

Średnia prędkość całej podróży jest zatem równa

$$v_{\mathrm{śr}}=\frac{2s}{\frac{s}{v_1}+\frac{s}{v_2}} =\frac{2}{\frac1{v_1}+\frac1{v_2}},$$

czyli dokładnie średniej harmonicznej dodatnich liczb $v_1$ i $v_2$.