NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 162

a) Niech $v>0$ oznacza prędkość wolniejszego samochodu. Czasy przejazdu obu samochodów były równe, więc

$$\frac{195}{v}=\frac{260}{v+20}.$$

Po pomnożeniu przez $v(v+20)$ otrzymujemy

$$195(v+20)=260v,$$

czyli $65v=3900$ i $v=60$. Drugi samochód jechał z prędkością $60+20=80\ \text{km/h}$.

b) Pierwszy samochód pokonał $\frac35\cdot350=210\ \text{km}$, a drugi $140\ \text{km}$. Niech $v>0$ będzie prędkością drugiego samochodu; prędkość pierwszego wynosi $v+30$. Do chwili spotkania jechali równie długo, zatem

$$\frac{210}{v+30}=\frac{140}{v}.$$

Stąd $210v=140(v+30)$, więc $70v=4200$ i $v=60$. Prędkości wynosiły zatem $90\ \text{km/h}$ i $60\ \text{km/h}$.

a) Niech $v>0$ oznacza prędkość pociągu osobowego. Ekspres jedzie z prędkością $v+30$, a różnica czasów przejazdu $360\ \text{km}$ wynosi godzinę:

$$\frac{360}{v}-\frac{360}{v+30}=1.$$

Po usunięciu mianowników:

$$360(v+30)-360v=v(v+30),$$

czyli

$$v^2+30v-10800=0.$$

Pierwiastki to $v=90$ i $v=-120$; ujemny odrzucamy. Pociąg osobowy jechał $90\ \text{km/h}$, a ekspres $120\ \text{km/h}$.

b) Pociąg jadący z $A$ pokonał $270\ \text{km}$, a drugi $510-270=240\ \text{km}$. Niech prędkość drugiego wynosi $v>0$; pierwszy jedzie z prędkością $v+10$. Równość czasów daje

$$\frac{270}{v+10}=\frac{240}{v}.$$

Zatem $270v=240(v+10)$, skąd $30v=2400$ i $v=80$. Pierwszy pociąg jechał $90\ \text{km/h}$, a drugi $80\ \text{km/h}$.