NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 161

a) Skoro stosunek wieku mamy do wieku taty jest równy $8:9$, ich wiek możemy zapisać jako $8k$ i $9k$. Różnica wynosi $6$ lat, więc

$$9k-8k=6,\qquad k=6.$$

Mama ma $8\cdot6=48$ lat, a tata $9\cdot6=54$ lata.

b) Niech $t$ oznacza liczbę lat, które upłyną. Wtedy

$$\frac{25+t}{13+t}=\frac32.$$

Stąd

$$2(25+t)=3(13+t),\qquad50+2t=39+3t,\qquad t=11.$$

a) Po skróceniu boki mają długości $32-x$ i $51-3x$. Musi zachodzić $0<x<17$. Ponieważ nie wiadomo, który z nowych boków jest dłuższy, rozpatrujemy dwie orientacje proporcji.

Pierwszy przypadek:

$$\frac{32-x}{51-3x}=\frac34 \iff4(32-x)=3(51-3x) \iff x=5.$$

Nowe boki mają wtedy $27$ cm i $36$ cm. Obwód zmniejszył się o

$$2\bigl((32+51)-(27+36)\bigr)=40\ \mathrm{cm}.$$

Drugi przypadek:

$$\frac{32-x}{51-3x}=\frac43 \iff3(32-x)=4(51-3x) \iff x=12.$$

Nowe boki mają $20$ cm i $15$ cm, a zmniejszenie obwodu wynosi

$$2\bigl((32+51)-(20+15)\bigr)=96\ \mathrm{cm}.$$

b) Są dwa sposoby przypisania przyrostów do boków i dwie orientacje proporcji. Otrzymujemy cztery przypadki:

Suma długości boków wzrasta o $3x$, więc obwód wzrasta o $6x$. Dla dwóch dopuszczalnych wartości dostajemy

$$6\cdot12=72\ \mathrm{cm},\qquad6\cdot180=1080\ \mathrm{cm}.$$

W ciągu godziny Artur wykonuje $\frac1{10}$ pracy, a Darek $\frac16$ pracy. Ich łączna wydajność wynosi

$$\frac1{10}+\frac16=\frac3{30}+\frac5{30}=\frac4{15}$$

pracy na godzinę. Czas potrzebny na całość to

$$1:\frac4{15}=\frac{15}{4}=3\frac34\ \mathrm{h}.$$

Trzy czwarte godziny to $45$ minut.

Wspólna wydajność koparek wynosi $\frac18$ wykopu na dzień, a wydajność pierwszej — $\frac1{12}$ wykopu na dzień. Jeśli druga koparka wykonałaby cały wykop w ciągu $t$ dni, to

$$\frac1{12}+\frac1t=\frac18.$$

Zatem

$$\frac1t=\frac18-\frac1{12}=\frac1{24},$$

więc $t=24$.

Skoro pierwsza koparka wykonuje połowę wykopu w $6$ godzin, sama wykonałaby cały wykop w $12$ godzin. Jej wydajność wynosi więc $\frac1{12}$ wykopu na godzinę.

Druga koparka wykonuje połowę w $9$ godzin, zatem cały wykop wykonałaby w $18$ godzin i ma wydajność $\frac1{18}$ wykopu na godzinę.

Łączna wydajność to

$$\frac1{12}+\frac1{18}=\frac3{36}+\frac2{36}=\frac5{36}.$$

Czas wspólnej pracy wynosi

$$1:\frac5{36}=\frac{36}{5}=7\frac15\ \mathrm{h}.$$

Jedna piąta godziny to $12$ minut.