NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 160

a) Oznaczmy mianownik ułamka przez $m$. Z warunku niezmienności jego wartości otrzymujemy

$$\frac{10}{m}=\frac{30}{m+30},\qquad m\neq0,-30.$$

Po pomnożeniu stron przez mianowniki:

$$10(m+30)=30m,\qquad 300=20m,\qquad m=15.$$

Szukanym ułamkiem jest więc $\frac{10}{15}$.

b) Niech mniejsza liczba będzie równa $x$, a większa $x+3$. Ponieważ $75:100=3:4$,

$$\frac{x}{x+3}=\frac34.$$

Stąd

$$4x=3x+9,\qquad x=9.$$

Liczby są równe $9$ i $12$.

a) Niech licznik będzie równy $x$, a mianownik $x+3$. Po zmianach licznik wynosi $x+4$, a mianownik $x+10$. Z warunku

$$\frac{x}{x+3}=\frac{x+4}{x+10}$$

otrzymujemy

$$x(x+10)=(x+4)(x+3),\qquad10x=7x+12,\qquad x=4.$$

Mianownik jest równy $7$, więc szukany ułamek to $\frac47$.

b) Zapisujemy ułamek jako $\frac{x}{x+2}$. Warunek dwukrotnego wzrostu ma postać

$$\frac{x+9}{x+7}=2\cdot\frac{x}{x+2}.$$

Po pomnożeniu przez mianowniki:

$$(x+9)(x+2)=2x(x+7),$$ $$x^2+3x-18=0,\qquad(x+6)(x-3)=0.$$

Dla $x=3$ otrzymujemy nieskracalny ułamek $\frac35$. Wartość $x=-6$ dawałaby zapis $\frac{-6}{-4}$, który jest skracalny, więc nie spełnia warunku zadania.

a) Masa kupionych cukierków jest ilorazem zapłaconej kwoty i ceny jednego kilograma. Ponieważ obie osoby kupiły taką samą ilość,

$$\frac{24}{x}=\frac{30}{x+4},\qquad x>0.$$

Zatem

$$24(x+4)=30x,\qquad96=6x,\qquad x=16.$$

Cukierki $A$ kosztują $16$ zł/kg, a cukierki $B$ — $20$ zł/kg.

b) Tydzień temu Tomek kupił $\frac{20}{x+4}$ kg winogron. Po hipotetycznej obniżce o $1$ zł/kg za $12$ zł kupiłby $\frac{12}{x-1}$ kg. Przy $x>1$:

$$\frac{20}{x+4}=\frac{12}{x-1}.$$

Stąd

$$20(x-1)=12(x+4),\qquad8x=68,\qquad x=\frac{17}{2}=8{,}50.$$