NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 159

Po określeniu dziedziny możemy podnieść obie nieujemne strony do kwadratu. Przy ilorazach odwrotności mnożymy przez dodatni iloczyn mianowników.

a) Dla $x\neq2$:

$$(2x-3)^2\leqslant4(x-2)^2 \iff4x-7\leqslant0.$$

Zatem $x\leqslant\frac74$.

b) Dla $x\neq-1$:

$$(3-x)^2>4(x+1)^2 \iff3x^2+14x-5<0.$$

Pierwiastkami trójmianu są $-5$ i $\frac13$, więc z przedziału między nimi wykluczamy $-1$.

c) Wartość bezwzględna jest nieujemna. Nierówność zachodzi tylko wtedy, gdy licznik jest zerem, czyli dla $x=1$.

d) Dla $x\neq-1$:

$$(x-1)^2>(x+1)^2\iff x<0.$$

Z tego zbioru wykluczamy $-1$.

e) Przy $x\neq\frac32$:

$$(x+2)^2\leqslant16(2x-3)^2.$$

Równość zachodzi dla $x=\frac{10}{9}$ i $x=2$, a nierówność — na zewnątrz przedziału między tymi liczbami.

f) Wartość bezwzględna ilorazu jest dodatnia wtedy i tylko wtedy, gdy nie zeruje się ani licznik, ani mianownik. Stąd $x\neq-3$ i $x\neq1$.

g) Przy $x\neq-4,2$:

$$\frac1{|x+4|}\leqslant\frac1{|x-2|} \iff |x+4|\geqslant|x-2| \iff x\geqslant-1.$$

Trzeba jeszcze wykluczyć $x=2$.

h) Przy $x\neq-\frac12,4$ mnożymy przez dodatnie mianowniki:

$$6|2x+1|>|4-x|.$$

Po podniesieniu do kwadratu równość graniczna ma pierwiastki $-\frac{10}{11}$ i $-\frac2{13}$. Nierówność zachodzi poza przedziałem między nimi; dodatkowo wykluczamy $x=4$.

i) Dla $x\neq-4,4$:

$$4|x+4|\geqslant|x-4|.$$

Równość graniczna ma rozwiązania $-\frac{20}{3}$ i $-\frac{12}{5}$. Nierówność jest spełniona na zewnątrz przedziału między nimi, a z prawego przedziału wykluczamy $x=4$.

Rozpatrujemy osobno przedziały wyznaczone przez miejsca zerowe wyrażeń pod wartością bezwzględną.

a) Dziedzina wyklucza $x=\frac12$.

Dla $x>\frac12$ mamy

$$\frac{x}{2x-1}=1\iff x=1.$$

Dla $x<\frac12$:

$$\frac{x}{1-2x}=1\iff x=\frac13.$$

Obie liczby spełniają odpowiednie założenia.

b) Dziedziną jest $\mathbb{R}\setminus\{0\}$.

Dla $x>0$ otrzymujemy

$$\frac1x=x+2\iff x^2+2x-1=0,$$

więc warunek $x>0$ spełnia $x=-1+\sqrt2$.

Dla $x<0$ mamy

$$\frac1{-x}=x+2\iff(x+1)^2=0,$$

stąd $x=-1$.

c) Wykluczamy $x=3$.

Dla $x>3$:

$$\frac{2x}{x-3}=x-2 \iff x^2-7x+6=0.$$

Spośród pierwiastków $1$ i $6$ założenie spełnia tylko $6$. Dla $x<3$ dostajemy równanie $x^2-3x+6=0$, którego wyróżnik jest ujemny.

a) Licznik jest nieujemny i zeruje się dla $x=1$. Iloraz jest dodatni, gdy $x>0$ oraz $x\neq1$, czyli dla $x\in(0;1)\cup(1;\infty)$.

b) Dla $x\geqslant0$ nierówność $\frac{x}{x+2}>2$ nie ma rozwiązań. Dla $x<0$ dodatni iloraz może wystąpić tylko przy $-2<x<0$. Wtedy

$$\frac{-x}{x+2}>2\iff -x>2x+4\iff x<-\frac43.$$

Zatem $x\in\left(-2;-\frac43\right)$.

c) Licznik jest nieujemny, więc iloraz jest ujemny dokładnie wtedy, gdy $x<0$; na tym przedziale licznik nie jest zerem.

W podpunktach d)–f) oznaczmy $t=|x|>0$.

d)

$$\left|\frac2t-1\right|\leqslant0 \iff\frac2t-1=0 \iff t=2.$$

Stąd $x=-2$ lub $x=2$.

e)

$$\left|\frac2t-1\right|<3 \iff -3<\frac2t-1<3.$$

Lewa nierówność zachodzi dla każdego $t>0$, a prawa daje $t>\frac12$. Zatem $|x|>\frac12$.

f)

$$\left|\frac2t-1\right|>\frac12$$

zachodzi, gdy $\frac2t-1>\frac12$ lub $\frac2t-1<-\frac12$. Otrzymujemy odpowiednio $0<t<\frac43$ lub $t>4$.

We wszystkich podpunktach $x\neq0$. Zapisujemy wzory bez wartości bezwzględnej na odpowiednich przedziałach.

a)

$$f(x)= \begin{cases} -1+\frac1x,&x<0,\\ 1-\frac1x,&x>0. \end{cases}$$

Wykres ma asymptotę pionową $x=0$, a jego gałęzie mają asymptoty poziome odpowiednio $y=-1$ po lewej i $y=1$ po prawej. Jedynym miejscem zerowym jest $x=1$.

b)

$$f(x)= \begin{cases} -1-\frac1x,&x<0,\\ 1-\frac1x,&x>0. \end{cases}$$

Asymptotą pionową jest $x=0$, a poziomymi są $y=-1$ po lewej i $y=1$ po prawej. Miejsca zerowe to $x=-1$ i $x=1$.

c)

$$f(x)= \begin{cases} \frac1x-1,&x<1,\ x\neq0,\\ 1-\frac1x,&x\geqslant1. \end{cases}$$

Wykres ma asymptotę pionową $x=0$, asymptotę poziomą $y=-1$ dla $x\to-\infty$ i $y=1$ dla $x\to\infty$. Obie części łączą się w punkcie $(1,0)$.

a) Pierwszy warunek, przy $x\neq-1$, jest równoważny

$$\frac3{|x+1|}\geqslant1 \iff0<|x+1|\leqslant3.$$

Stąd $-4\leqslant x\leqslant2$ oraz $x\neq-1$. Drugi warunek daje $-2\leqslant y\leqslant2$. Zbiór jest więc prostokątem z brzegiem, z którego usunięto pionowy odcinek dla $x=-1$.

b) Dziedzina wyklucza $x=-1$ i $x=5$. Dla dodatnich mianowników:

$$\frac1{|5-x|}<\frac1{|x+1|} \iff |5-x|>|x+1|.$$

Po podniesieniu do kwadratu otrzymujemy

$$(5-x)^2>(x+1)^2\iff x<2.$$

W tym przedziale trzeba jeszcze wykluczyć $x=-1$; współrzędna $y$ jest dowolna.

Ze skanu strony 159 odczytujemy, że brzeg zaznaczonego obszaru przecina dodatnią półoś $OX$ w punkcie $(4,0)$. W tym punkcie zachodzi równość

$$0=\frac{a}{|4|+1}-1.$$

Stąd

$$\frac a5=1,\qquad a=5.$$

Kontrolnie dla $x=0$ otrzymujemy $|y|\leqslant a-1=4$, co zgadza się z przecięciami brzegu z osią $OY$ w punktach $(0,-4)$ i $(0,4)$.