NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 16

Wyznaczamy miejsca zerowe trójmianu i korzystamy z kierunku ramion paraboli.

a)

$$3x^2+2x-1=(3x-1)(x+1).$$

Miejsca zerowe to $-1$ i $\frac13$. Współczynnik główny jest dodatni, więc

$$x\in\left[-1;\frac13\right].$$

b)

$$2x^2+5x-3=(2x-1)(x+3).$$

Miejsca zerowe to $-3$ i $\frac12$, a trójmian jest dodatni poza nimi:

$$x\in(-\infty;-3)\cup\left(\frac12;\infty\right).$$

c)

$$-4x^2+5x-1=-(4x-1)(x-1).$$

Miejsca zerowe to $\frac14$ i $1$. Ramiona są skierowane w dół, zatem

$$x\in\left(-\infty;\frac14\right)\cup(1;\infty).$$

d)

$$\Delta=4^2-4\cdot(-1)\cdot1=20,$$ $$x_1=2-\sqrt5, \qquad x_2=2+\sqrt5.$$

Trójmian o ujemnym współczynniku głównym jest nieujemny między zerami:

$$x\in[2-\sqrt5;2+\sqrt5].$$

e) Dla równania $-x^2+\frac12x+3=0$ mamy

$$\Delta=\frac{49}{4}, \qquad x_1=-\frac32, \qquad x_2=2.$$

Trójmian jest ujemny poza miejscami zerowymi, więc

$$x\in\left(-\infty;-\frac32\right)\cup(2;\infty).$$

f)

$$\Delta=(-3)^2-4\cdot5\cdot(-1)=29,$$ $$x_1=\frac{3-\sqrt{29}}{10}, \qquad x_2=\frac{3+\sqrt{29}}{10}.$$

Ponieważ parabola ma ramiona skierowane w górę,

$$x\in\left(-\infty;\frac{3-\sqrt{29}}{10}\right) \cup\left(\frac{3+\sqrt{29}}{10};\infty\right).$$

g)

$$\Delta=5^2-4\cdot1\cdot(-5)=45,$$ $$x_1=\frac{-5-3\sqrt5}{2}, \qquad x_2=\frac{-5+3\sqrt5}{2}.$$

Trójmian jest ujemny między pierwiastkami:

$$x\in\left(\frac{-5-3\sqrt5}{2};\frac{-5+3\sqrt5}{2}\right).$$

h)

$$\Delta=2^2-4\cdot(-1)\cdot7=32,$$ $$x_1=1-2\sqrt2, \qquad x_2=1+2\sqrt2.$$

Trójmian jest niedodatni na zewnątrz przedziału między zerami:

$$x\in(-\infty;1-2\sqrt2]\cup[1+2\sqrt2;\infty).$$

i)

$$\Delta=\left(-\frac32\right)^2 -4\cdot2\cdot\left(-\frac14\right)=\frac{17}{4},$$ $$x_1=\frac{3-\sqrt{17}}8, \qquad x_2=\frac{3+\sqrt{17}}8.$$

Trójmian jest ujemny między pierwiastkami:

$$x\in\left(\frac{3-\sqrt{17}}8;\frac{3+\sqrt{17}}8\right).$$

a)

$$-x^2+6x-9=-(x-3)^2.$$

Wyrażenie jest ujemne dla wszystkich liczb poza $x=3$, gdzie jest równe zero. Zatem

$$x\in\mathbb R\setminus\{3\}.$$

b)

$$9x^2-6x+1=(3x-1)^2\geqslant0$$

dla każdego $x\in\mathbb R$.

c)

$$\frac12x^2+3x+6=\frac12\bigl((x+3)^2+3\bigr)>0$$

dla każdego $x\in\mathbb R$.

d)

$$\frac19x^2+\frac13x+\frac14 =\left(\frac{x}{3}+\frac12\right)^2.$$

Kwadrat jest niedodatni tylko wtedy, gdy jest równy zero:

$$\frac{x}{3}+\frac12=0 \iff x=-\frac32.$$

e)

$$\Delta=(-3\sqrt2)^2-4\cdot1\cdot5=-2<0.$$

Współczynnik główny jest dodatni, więc trójmian jest dodatni dla każdego $x\in\mathbb R$ i nierówność zawsze zachodzi.

f)

$$-\sqrt2x^2+3x-3\sqrt2\geqslant0 \iff \sqrt2x^2-3x+3\sqrt2\leqslant0.$$

Dla trójmianu po lewej stronie

$$\Delta=(-3)^2-4\cdot\sqrt2\cdot3\sqrt2=-15<0.$$

Trójmian jest zawsze dodatni, zatem nierówność nie ma rozwiązań.

a)

$$x^2+2x\geqslant x+1 \iff x^2+x-1\geqslant0.$$

Miejsca zerowe to $\frac{-1-\sqrt5}{2}$ i $\frac{-1+\sqrt5}{2}$, więc

$$x\in\left(-\infty;\frac{-1-\sqrt5}{2}\right] \cup\left[\frac{-1+\sqrt5}{2};\infty\right).$$

b)

$$5x^2+4\leqslant10x-20x^2 \iff25x^2-10x+4\leqslant0.$$

Jednak

$$25x^2-10x+4=25\left(x-\frac15\right)^2+3>0,$$

zatem nierówność nie ma rozwiązań.

c)

$$3x^2-2x+1<x \iff3x^2-3x+1<0.$$

Ponieważ

$$3x^2-3x+1=3\left(x-\frac12\right)^2+\frac14>0,$$

nierówność jest sprzeczna.

d)

$$-2x^2+5x>1 \iff2x^2-5x+1<0.$$

Miejsca zerowe to $\frac{5-\sqrt{17}}4$ i $\frac{5+\sqrt{17}}4$. Trójmian jest ujemny między nimi:

$$x\in\left(\frac{5-\sqrt{17}}4;\frac{5+\sqrt{17}}4\right).$$

e)

$$3x-x^2\leqslant3-3x^2 \iff2x^2+3x-3\leqslant0.$$

Miejsca zerowe to $\frac{-3-\sqrt{33}}4$ i $\frac{-3+\sqrt{33}}4$, zatem

$$x\in\left[\frac{-3-\sqrt{33}}4;\frac{-3+\sqrt{33}}4\right].$$

f)

$$-x(2-x)>1-x^2 \iff2x^2-2x-1>0.$$

Miejsca zerowe to $\frac{1-\sqrt3}{2}$ i $\frac{1+\sqrt3}{2}$. Trójmian jest dodatni poza nimi:

$$x\in\left(-\infty;\frac{1-\sqrt3}{2}\right) \cup\left(\frac{1+\sqrt3}{2};\infty\right).$$

a)

$$(2x+1)^2+(x-3)^2<10 \iff5x^2-2x<0 \iff x(5x-2)<0.$$

Iloczyn jest ujemny między miejscami zerowymi, więc

$$x\in\left(0;\frac25\right).$$

b)

$$3x-(1-x)^2\geqslant(x-2)(x+2) \iff2x^2-5x-3\leqslant0,$$ $$(2x+1)(x-3)\leqslant0.$$

Zatem

$$x\in\left[-\frac12;3\right].$$

c)

$$(x-3)^2-7\leqslant(2x-1)^2 \iff3x^2+2x-1\geqslant0,$$ $$(3x-1)(x+1)\geqslant0.$$

Zatem

$$x\in(-\infty;-1]\cup\left[\frac13;\infty\right).$$

d) Mnożymy nierówność przez $9$:

$$(x+1)^2\geqslant6x-24 \iff x^2-4x+25\geqslant0.$$

Ponieważ

$$x^2-4x+25=(x-2)^2+21>0,$$

nierówność zachodzi dla każdego $x\in\mathbb R$.

e)

$$2-x^2\leqslant(2-x)^2 \iff0\leqslant2x^2-4x+2 \iff0\leqslant2(x-1)^2.$$

Nierówność jest prawdziwa dla każdego $x\in\mathbb R$.

f) Korzystamy z różnicy kwadratów:

$$\left(1-\frac12x\right)^2- \left(\frac12-x\right)^2=\frac34(1-x^2).$$

Stąd

$$\frac34(1-x^2)\geqslant3x \iff x^2+4x-1\leqslant0.$$

Miejsca zerowe to $-2-\sqrt5$ i $-2+\sqrt5$, więc

$$x\in[-2-\sqrt5;-2+\sqrt5].$$

a) Pierwiastkami trójmianu $x^2-4x+1$ są $2-\sqrt3$ i $2+\sqrt3$, zatem

$$A=[2-\sqrt3;2+\sqrt3].$$

Ponadto

$$3x-x^2=x(3-x)\geqslant0 \iff B=[0;3].$$

Porównując przedziały, otrzymujemy

$$A\cap B=[2-\sqrt3;3],$$ $$A\setminus B=(3;2+\sqrt3].$$

b) Pierwiastkami trójmianu $x^2+3x+1$ są $\frac{-3-\sqrt5}{2}$ i $\frac{-3+\sqrt5}{2}$. Stąd

$$A=\left(-\infty;\frac{-3-\sqrt5}{2}\right) \cup\left(\frac{-3+\sqrt5}{2};\infty\right).$$

Z kolei

$$x^2-5x+4=(x-1)(x-4)<0 \iff B=(1;4).$$

Zatem

$$A\cap B=(1;4),$$ $$A\setminus B= \left(-\infty;\frac{-3-\sqrt5}{2}\right) \cup\left(\frac{-3+\sqrt5}{2};1\right] \cup[4;\infty).$$

c) Pierwiastkami trójmianu $x^2-4x-3$ są $2-\sqrt7$ i $2+\sqrt7$, więc

$$A=(-\infty;2-\sqrt7)\cup(2+\sqrt7;\infty).$$

Ponadto

$$-x^2+x+12\geqslant0 \iff(x-4)(x+3)\leqslant0,$$

czyli $B=[-3;4]$. Stąd

$$A\cap B=[-3;2-\sqrt7),$$ $$A\setminus B=(-\infty;-3)\cup(2+\sqrt7;\infty).$$

Każde wyrażenie pod pierwiastkiem musi być nieujemne.

a) Warunki dziedziny mają postać

$$x^2-2x-3\geqslant0 \quad\text{oraz}\quad x\geqslant0.$$

Pierwsza nierówność jest równoważna

$$(x-3)(x+1)\geqslant0,$$

czyli $x\in(-\infty;-1]\cup[3;\infty)$. Po przecięciu z $[0;\infty)$ otrzymujemy

$$D_f=[3;\infty).$$

b) Muszą jednocześnie zachodzić warunki

$$2x^2+7x-4\geqslant0 \quad\text{oraz}\quad1-x\geqslant0.$$

Ponieważ

$$2x^2+7x-4=(2x-1)(x+4),$$

pierwszy warunek daje $x\in(-\infty;-4]\cup\left[\frac12;\infty\right)$, a drugi $x\leqslant1$. Zatem

$$D_f=(-\infty;-4]\cup\left[\frac12;1\right].$$

c) Warunki dziedziny to

$$x^2-x-6\geqslant0 \quad\text{oraz}\quad16-x^2\geqslant0.$$

Pierwszy daje

$$(x-3)(x+2)\geqslant0 \iff x\in(-\infty;-2]\cup[3;\infty),$$

a drugi $x\in[-4;4]$. Część wspólna to

$$D_f=[-4;-2]\cup[3;4].$$

d) Muszą zachodzić nierówności

$$3x^2+7x-6\geqslant0 \quad\text{oraz}\quad4x-x^2\geqslant0.$$

Ponieważ

$$3x^2+7x-6=(3x-2)(x+3),$$

pierwsza nierówność daje $x\in(-\infty;-3]\cup\left[\frac23;\infty\right)$. Druga jest równoważna $x(4-x)\geqslant0$, więc $x\in[0;4]$. Po przecięciu zbiorów otrzymujemy

$$D_f=\left[\frac23;4\right].$$