NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 15

Wyznaczamy miejsca zerowe trójmianu i odczytujemy znak z kierunku ramion paraboli.

a)

$$x^2+5x=x(x+5).$$

Miejsca zerowe to $-5$ i $0$, a współczynnik przy $x^2$ jest dodatni. Wyrażenie jest ujemne między miejscami zerowymi, zatem

$$x\in(-5;0).$$

b)

$$-4x^2+x=x(1-4x).$$

Miejsca zerowe to $0$ i $\frac14$, a ramiona paraboli są skierowane w dół. Wartości niedodatnie występują poza przedziałem między zerami:

$$x\in(-\infty;0]\cup\left[\frac14;\infty\right).$$

c) Dla równania $2x^2+7x-4=0$ mamy

$$\Delta=7^2-4\cdot2\cdot(-4)=81,$$ $$x_1=-4, \qquad x_2=\frac12.$$

Parabola ma ramiona skierowane w górę, więc

$$x\in(-\infty;-4)\cup\left(\frac12;\infty\right).$$

d) Dla równania $-3x^2+11x-6=0$ mamy

$$\Delta=11^2-4\cdot(-3)\cdot(-6)=49,$$ $$x_1=\frac23, \qquad x_2=3.$$

Parabola ma ramiona skierowane w dół, dlatego

$$x\in\left[\frac23;3\right].$$

e)

$$\Delta=(-2)^2-4\cdot5\cdot(-1)=24, \qquad \sqrt\Delta=2\sqrt6,$$ $$x_1=\frac{1-\sqrt6}{5}, \qquad x_2=\frac{1+\sqrt6}{5}.$$

Współczynnik główny jest dodatni, a nierówność nieostra, więc

$$x\in\left(-\infty;\frac{1-\sqrt6}{5}\right] \cup\left[\frac{1+\sqrt6}{5};\infty\right).$$

f) Miejsca zerowe trójmianu $-\frac12x^2-3x+3$ spełniają równanie

$$x^2+6x-6=0,$$

więc są równe $-3-\sqrt{15}$ i $-3+\sqrt{15}$. Wyjściowa parabola ma ramiona skierowane w dół, zatem jest ujemna poza miejscami zerowymi:

$$x\in(-\infty;-3-\sqrt{15})\cup(-3+\sqrt{15};\infty).$$

Zauważmy, że

$$9x^2-12x+4=(3x-2)^2.$$

Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny i jest równy zeru wyłącznie wtedy, gdy $3x-2=0$, czyli dla $x=\frac23$.

a) Nierówność $(3x-2)^2\geqslant0$ jest spełniona dla każdego $x\in\mathbb R$.

b) Nierówność $(3x-2)^2\leqslant0$ zachodzi tylko wtedy, gdy kwadrat jest równy zeru, czyli dla $x=\frac23$.

c) Kwadrat nie może być ujemny, więc nierówność $(3x-2)^2<0$ jest sprzeczna.

a) Dla każdego $x\in\mathbb R$ mamy $4x^2\geqslant0$, zatem

$$4x^2+1\geqslant1>0.$$

Nierówność jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą.

b) Dla każdego $x\in\mathbb R$ mamy $-x^2\leqslant0$, więc

$$-x^2-2\leqslant-2<0.$$

Ta nierówność również jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą.

c) Ponieważ $9x^2\geqslant0$, otrzymujemy

$$9x^2+4\geqslant4>0.$$

Wyrażenie nie może być niedodatnie, zatem nierówność jest sprzeczna.