NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 158

W równaniach a)–c) usuwamy dodatni mianownik, a w e)–h) korzystamy z równoważności $|A|=k\iff A=\pm k$.

a) $|x-1|=\frac72$, zatem $x=-\frac52$ lub $x=\frac92$.

b) $|2x+1|=2$, więc $x=-\frac32$ lub $x=\frac12$.

c) $|6-3x|=4$, czyli $x=\frac23$ lub $x=\frac{10}{3}$.

d) Lewa strona jest dodatnia w całej dziedzinie, zatem równanie nie ma rozwiązań.

e) Przy $x\neq-6$:

$$x-3=5(x+6)\quad\text{lub}\quad x-3=-5(x+6),$$

skąd $x=-\frac{33}{4}$ lub $x=-\frac92$.

f) Przy $x\neq5$:

$$2x-3=2(5-x)\quad\text{lub}\quad2x-3=-2(5-x).$$

Pierwsze równanie daje $x=\frac{13}{4}$, a drugie jest sprzeczne.

g) Wartość bezwzględna ilorazu jest zerem, gdy $4x+1=0$ i mianownik jest różny od zera. Otrzymujemy $x=-\frac14$.

h) Dla $x\neq3$ zachodzi

$$\left|\frac{x-3}{6-2x}\right| =\left|\frac{x-3}{-2(x-3)}\right|=\frac12.$$

Równanie spełnia więc każda liczba rzeczywista poza $3$.

Uwzględniamy wykluczenia z dziedziny i mnożymy nierówności wyłącznie przez dodatnie wartości bezwzględne.

W podpunktach g)–i) wykorzystujemy zależności między mianownikami.

g) Ze skanu strony 158 odczytujemy oba znaki minus w licznikach. Przy $x\neq\frac23$:

$$\frac{-2}{|3x-2|}\leqslant\frac{-3}{|3x-2|}+1 \iff \frac1{|3x-2|}\leqslant1 \iff |3x-2|\geqslant1.$$

Stąd $x\leqslant\frac13$ lub $x\geqslant1$.

h) Dla $x\neq2$ mamy $|2x-4|=2|x-2|$, więc

$$\frac{-3}{|x-2|}>\frac1{2|x-2|}-7 \iff 7>\frac7{2|x-2|} \iff |x-2|>\frac12.$$

Zatem $x<\frac32$ lub $x>\frac52$.

i) Dla $x\neq\frac12$ zachodzi $|3-6x|=3|2x-1|$. Wobec tego

$$\frac1{|2x-1|}\leqslant\frac1{3|2x-1|}+3 \iff |2x-1|\geqslant\frac29.$$

Otrzymujemy $x\leqslant\frac7{18}$ lub $x\geqslant\frac{11}{18}$.

W każdym mianowniku wartość bezwzględna musi być dodatnia.

a)

$$\frac2{|x-1|}>1\iff0<|x-1|<2.$$

Stąd $-1<x<3$, przy czym $x\neq1$.

b)

$$\frac7{|x+2|}\leqslant1\iff |x+2|\geqslant7,$$

czyli $x\leqslant-9$ lub $x\geqslant5$.

c)

$$\frac6{|3x+1|}-2\geqslant1 \iff0<|3x+1|\leqslant2.$$

Z nierówności $-2\leqslant3x+1\leqslant2$ dostajemy $-1\leqslant x\leqslant\frac13$, a z dziedziny wykluczamy $x=-\frac13$.

d) Przy $x\neq0$ możemy podnieść obie nieujemne strony do kwadratu:

$$\left|\frac{x+4}{x}\right|\leqslant3 \iff (x+4)^2\leqslant9x^2 \iff (x-2)(x+1)\geqslant0.$$

Zatem $x\leqslant-1$ lub $x\geqslant2$.