NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 157

W podpunktach a) i b) sprowadzamy równanie do postaci $|u|=a$, gdzie $a>0$.

a)

$$|x+2|=3,$$

więc $x+2=3$ lub $x+2=-3$. Otrzymujemy $x=1$ lub $x=-5$.

b)

$$|7x-1|=\frac25.$$

Stąd

$$7x-1=\frac25\quad\text{lub}\quad 7x-1=-\frac25,$$

czyli $x=\frac15$ lub $x=\frac3{35}$.

c) Lewa strona jest ujemna dla każdego $x$ z dziedziny, a prawa dodatnia. Równanie nie ma rozwiązań.

d) Dla każdego $x\neq\frac25$ lewa strona jest dodatnia, więc nie może być równa zeru.

Korzystamy z równoważności $|A|=k\iff A=k$ lub $A=-k$, pamiętając o wykluczeniach z dziedziny.

a) $x\neq-\frac12$ oraz

$$2x-1=6x+3\quad\text{lub}\quad 2x-1=-(6x+3).$$

Stąd $x=-1$ lub $x=-\frac14$.

b) $x\neq-\frac14$ oraz

$$2x+8=2(-4x-1)\quad\text{lub}\quad 2x+8=-2(-4x-1).$$

Otrzymujemy $x=-1$ lub $x=1$.

c) $x\neq2$ oraz

$$5x-1=4(x-2)\quad\text{lub}\quad 5x-1=-4(x-2).$$

Zatem $x=-7$ lub $x=1$.

d) Wartość bezwzględna ilorazu jest równa zeru wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się jego licznik, a mianownik jest różny od zera:

$$5x-3=0,\qquad 3x-2\neq0.$$

Warunki spełnia $x=\frac35$.

a) Dziedziną równania jest $\mathbb{R}\setminus\{3\}$. Mamy

$$\left|\frac{x}{x-3}\right|=2 \iff \frac{x}{x-3}=2\quad\text{lub}\quad\frac{x}{x-3}=-2.$$

Pierwsze równanie daje $x=6$, a drugie $x=2$. Obie liczby należą do dziedziny.

b) Przekształcamy wzór funkcji:

$$f(x)=\frac{x}{x-3}=1+\frac3{x-3}.$$

Wykres jest hiperbolą o asymptotach $x=3$ i $y=1$ oraz przechodzi przez punkt $(0,0)$. Warunek $|f(x)|=2$ oznacza $f(x)=2$ lub $f(x)=-2$. Na szkicu proste $y=2$ i $y=-2$ przecinają wykres dla argumentów odpowiednio $x=6$ i $x=2$.