NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 156

Rozpatrujemy przedziały wyznaczone przez miejsca zerowe wyrażeń pod wartościami bezwzględnymi.

a) Równość $|x+1|=|x|$ oznacza, że $x$ jest jednakowo odległy od $-1$ i $0$. Stąd $x=-\frac12$.

b) W przedziale $[-5;0]$ suma $|x|+|x+5|$ ma wartość $5$. Poza tym przedziałem:

$$-2x-5=7\iff x=-6, \qquad 2x+5=7\iff x=1.$$

c) Dla $0\leqslant x<4$:

$$x-(4-x)=2\iff x=3.$$

Na pozostałych przedziałach lewa strona ma wartość $-4$ albo $4$, więc nie otrzymujemy innych rozwiązań.

d) Suma $|x+3|+|x|$ jest sumą odległości liczby $x$ od $-3$ i $0$. Jest równa odległości między tymi punktami, czyli $3$, dokładnie dla $x\in[-3;0]$.

e) Analogicznie suma odległości od $-2$ i $2$ jest równa $4$ dokładnie dla $x\in[-2;2]$.

f) Punkty podziału to $-2$ i $1$. Dla $x<-2$:

$$-2(x+2)-(1-x)=3\iff x=-8.$$

Dla $-2\leqslant x<1$:

$$2(x+2)-(1-x)=3\iff x=0.$$

Dla $x\geqslant1$ nie ma rozwiązania.

Najpierw korzystamy z tożsamości $\sqrt{u^2}=|u|$.

a) Równanie ma postać

$$|x+3|-|x-2|=x.$$

Na przedziałach $(-\infty;-3)$, $[-3;2)$ i $[2;\infty)$ otrzymujemy odpowiednio równania $-5=x$, $2x+1=x$ oraz $5=x$. Wszystkie trzy wyniki należą do właściwych przedziałów, więc $x\in\{-5,-1,5\}$.

b) Otrzymujemy $|x-2|+|x|=6$. W przedziale $[0;2]$ lewa strona wynosi $2$. Poza nim:

$$2-2x=6\iff x=-2, \qquad 2x-2=6\iff x=4.$$

c) Punkty podziału to $0$, $2$ i $3$. Kolejne wzory lewej strony to $-x-1$, $x-1$, $3x-5$ i $x+1$. Równanie z wartością $6$ daje dopuszczalne wyniki tylko w pierwszym i ostatnim przedziale:

$$-x-1=6\iff x=-7, \qquad x+1=6\iff x=5.$$

d) Punkty podziału to $-3$, $0$ i $4$. Dla $x<-3$ lewa strona $|4-x|-|x|$ ma wartość $4$, a prawa wynosi $-x-3$, co daje $x=-7$. Dla $0\leqslant x<4$:

$$4-2x=x+3\iff x=\frac13.$$

Pozostałe przedziały nie dają rozwiązań.

a) Suma $|x-3|+|x|$ jest nie mniejsza niż odległość między $0$ i $3$, czyli $3$. Wartość $3$ przyjmuje dokładnie dla $x\in[0;3]$.

b) Dla $x\leqslant-1$ różnica $|1-x|-|1+x|$ ma wartość $2$. W przedziale $[-1;1]$ jest równa $-2x$, a dla $x\geqslant1$ wynosi $-2$. Stąd nierówność zachodzi dla $x\in(-\infty;-1]$.

c) Z nierówności trójkąta

$$|x-5|+|x-1|\geqslant|(x-5)-(x-1)|=4$$

wynika, że warunek spełnia każda liczba rzeczywista.

d) Punkty podziału to $-2$ i $2$. Dla $x<-2$ nierówność prowadzi do $x>0$, więc nie daje rozwiązań. Dla $-2\leqslant x<2$:

$$3(2-x)-(x+2)<8\iff x>-1.$$

Dla $x\geqslant2$:

$$3(x-2)-(x+2)<8\iff x<8.$$

Łącznie $x\in(-1;8)$.

e) Po zamianie pierwiastka na wartość bezwzględną mamy $|x+2|+|x|\leqslant5$. Na trzech przedziałach wyznaczonych przez $-2$ i $0$ otrzymujemy kolejno:

$$x\geqslant-\frac72,\qquad \text{każde }x\in[-2;0], \qquad x\leqslant\frac32.$$

Zatem $x\in\left[-\frac72;\frac32\right]$.

f) Nierówność ma postać

$$|x-3|-|x|>3.$$

Z nierówności trójkąta wynika $|x-3|-|x|\leqsl3$, więc nierówność ostra nie ma rozwiązań.

a) Punkty zmiany wzoru to $-1$ i $2$:

$$f(x)= \begin{cases} -2x-4,&x<-1,\\ -2,&-1\leqslant x<2,\\ 2x-6,&x\geqslant2. \end{cases}$$

Wykres składa się z dwóch półprostych połączonych poziomym odcinkiem od $(-1,-2)$ do $(2,-2)$. Przecina oś $OX$ dla $x=-2$ i $x=3$. Stąd $f(x)\geqslant0$ dla

$$x\in(-\infty;-2]\cup[3;\infty).$$

b) Punkty zmiany wzoru to $1$ i $3$:

$$f(x)= \begin{cases} -2,&x<1,\\ 2x-4,&1\leqslant x<3,\\ 2,&x\geqslant3. \end{cases}$$

Wykres jest poziomy na skrajnych przedziałach i liniowy pomiędzy punktami $(1,-2)$ i $(3,2)$. Ma miejsce zerowe $x=2$, zatem $f(x)\geqslant0$ dla $x\in[2;\infty)$.

Wprowadzamy pomocniczą niewiadomą równą wewnętrznej wartości bezwzględnej.

f) Najpierw

$$\Bigl|\bigl||x|-1\bigr|-1\Bigr|=1 \iff \bigl||x|-1\bigr|=0\ \text{lub}\ \bigl||x|-1\bigr|=2.$$

Pierwsze równanie daje $|x|=1$, a drugie $|x|=3$; przypadek $|x|=-1$ jest niemożliwy. Ostatecznie $x\in\{-3,-1,1,3\}$.

Oznaczamy przez $t$ wartość wewnętrznego wyrażenia; zawsze $t\geqslant0$.

f) Niech $t=|2x+1|$. Wtedy

$$|7-t|\geqslant7 \iff t=0\ \text{lub}\ t\geqslant14.$$

Pierwszy warunek daje $x=-\frac12$. Z drugiego otrzymujemy $x\leqslant-\frac{15}{2}$ lub $x\geqslant\frac{13}{2}$.

a) Dla $x\geqslant0$ równanie ma postać $2x=x$, więc $x=0$. Dla $x<0$ lewa strona jest równa $0$, a prawa $-x>0$. Jedynym rozwiązaniem jest $x=0$.

b) Podnosimy obie nieujemne strony do kwadratu:

$$(|x|-1)^2=(x-1)^2 \iff |x|=x.$$

Warunek ten zachodzi dokładnie dla $x\geqslant0$.

c) Oznaczmy $a=|x-1|\geqslant0$. Z równania

$$|x-a|=a$$

wynika $x-a=a$ lub $x-a=-a$. Druga możliwość daje $x=0$. Pierwsza prowadzi do $x=2|x-1|$. Dla $x<1$ otrzymujemy $x=2(1-x)$, czyli $x=\frac23$. Dla $x\geqslant1$ mamy $x=2(x-1)$, czyli $x=2$. Wszystkie trzy liczby spełniają równanie wyjściowe.