NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 155

Rozpatrujemy przedziały wyznaczone przez miejsca zerowe wyrażeń pod wartościami bezwzględnymi.

a) Punkty podziału to $0$ i $3$. Dla $x<0$:

$$-x+(3-x)=5\iff x=-1.$$

W przedziale $[0;3]$ lewa strona ma wartość $3$, a dla $x>3$:

$$x+(x-3)=5\iff x=4.$$

b) Punkty podziału to $-4$ i $2$. Dla $x<-4$ lewa strona jest równa $-6$. Dla $-4\leqslant x<2$ równanie prowadzi do $x=2$, czyli do punktu granicznego. Dla $x\geqslant2$:

$$x+4-(x-2)=6,$$

więc równość jest tożsamościowa. Zatem $x\in[2;\infty)$.

c) Prawa strona jest nieujemna dopiero dla $x\geqslant1$. W przedziale $[1;2)$ lewa strona ma wartość $2$, więc równanie daje punkt graniczny $x=2$. Dla $x\geqslant2$:

$$x+(x-2)=2x-2,$$

czyli równość zachodzi dla każdego $x$. Stąd $x\in[2;\infty)$.

d) Dla $x<0$ lewa strona nie może być równa prawej. Dla $x\geqslant0$:

$$x+(x+5)=2x+5,$$

więc rozwiązaniem jest cały przedział $[0;\infty)$.

Rozwiązujemy nierówności osobno na przedziałach wyznaczonych przez miejsca zerowe wyrażeń pod wartościami bezwzględnymi.

a) Dla $x<0$ otrzymujemy $2-2x<4$, czyli $x>-1$. W przedziale $[0;2]$ lewa strona ma stałą wartość $2$. Dla $x>2$ mamy $2x-2<4$, czyli $x<3$. Łącznie:

$$x\in(-1;3).$$

b) Dla $x<1$:

$$1-x+3-x\geqslant3\iff x\leqslant\frac12.$$

W przedziale $[1;3]$ lewa strona ma wartość $2$, więc brak rozwiązań. Dla $x>3$:

$$x-1+x-3\geqslant3\iff x\geqslant\frac72.$$

c) Kolejne punkty podziału to $-2$ i $3$. Otrzymujemy:

$$\begin{array}{c|c|c} \text{przedział} & \text{nierówność} & \text{wynik po uwzględnieniu przedziału}\\ \hline x<-2 & -5\leqslant x-1 & [-4;-2)\\ -2\leqslant x<3 & 2x-1\leqslant x-1 & [-2;0]\\ x\geqslant3 & 5\leqslant x-1 & [6;\infty) \end{array}$$

Zatem $x\in[-4;0]\cup[6;\infty)$.

d) Punkty podziału to $0$ i $5$. Dla $x<0$ otrzymujemy $-5>x-2$, czyli $x<-3$. Dla $0\leqslant x<5$:

$$2x-5>x-2\iff x>3.$$

Dla $x\geqslant5$ nierówność $5>x-2$ daje $x<7$. Łącznie $x\in(-\infty;-3)\cup(3;7)$.

Wyznaczamy wzór funkcji na kolejnych przedziałach. Z tych wzorów szkicujemy odcinki i półproste, a następnie porównujemy ich wysokość z prostą $y=4$.

a)

$$f(x)= \begin{cases} -4,&x<-3,\\ 2x+2,&x\geqslant-3. \end{cases}$$

Pierwsza część wykresu leży poniżej prostej $y=4$, a na drugiej $2x+2\leqslant4$ dokładnie dla $x\leqslant1$. Stąd $x\in(-\infty;1]$.

b)

$$f(x)= \begin{cases} 3,&x<-1,\\ 1-2x,&-1\leqslant x<1,\\ -1,&x\geqslant1. \end{cases}$$

Każdy fragment wykresu leży na wysokości nie większej niż $4$, więc nierówność zachodzi dla każdego $x\in\mathbb R$.

c)

$$f(x)= \begin{cases} 5-x,&x<1,\\ x+3,&1\leqslant x<2,\\ 5x-5,&x\geqslant2. \end{cases}$$

Najmniejszą wartością funkcji jest $4$, osiągana tylko dla $x=1$. Zatem $f(x)\leqslant4$ dokładnie dla $x=1$.

d)

$$f(x)= \begin{cases} 1-3x,&x<-1,\\ 3-x,&-1\leqslant x<0,\\ x+3,&0\leqslant x<2,\\ 3x-1,&x\geqslant2. \end{cases}$$

Z pierwszych trzech części wykresu otrzymujemy kolejno punkt $x=-1$, przedział $[-1;0)$ oraz przedział $[0;1]$. Ostatnia część nie daje rozwiązań. Łącznie $x\in[-1;1]$.

a) Punkty zmiany wzoru to $-4$ i $2$:

$$f(x)= \begin{cases} -2x-12,&x<-4,\\ -4,&-4\leqslant x<2,\\ 2x-8,&x\geqslant2. \end{cases}$$

Wykres przecina oś $OX$ w punktach $(-6,0)$ i $(4,0)$. Ograniczony obszar składa się z prostokąta o bokach $6$ i $4$ oraz dwóch trójkątów prostokątnych o przyprostokątnych $2$ i $4$. Jego pole wynosi

$$P=6\cdot4+2\cdot\frac{2\cdot4}{2}=24+8=32.$$

b) Otrzymujemy

$$f(x)= \begin{cases} -x-2,&x<-2,\\ x+2,&-2\leqslant x<0,\\ 2-x,&x\geqslant0. \end{cases}$$

Ograniczony obszar jest trójkątem o wierzchołkach $(-2,0)$, $(0,2)$ i $(2,0)$. Zatem

$$P=\frac{4\cdot2}{2}=4.$$