NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 153

Rozpatrujemy przedziały wyznaczone przez miejsca zerowe wyrażeń pod wartościami bezwzględnymi.

a) Dla $x<1$ otrzymujemy

$$1-x-2x=4\iff x=-1,$$

i liczba ta spełnia założenie. Dla $x\geqslant1$ równanie daje $x=-5$, co jest sprzeczne z założeniem. Zatem $x=-1$.

b) Dla $x<1$ lewa strona ma stałą wartość $1$, więc równanie jest sprzeczne. Dla $x\geqslant1$:

$$x-1+x=2\iff x=\frac32.$$

c) Dla $x<-4$ równanie prowadzi do $x=-1$, który nie należy do tego przedziału. Dla $x\geqslant-4$:

$$x+4+1=2x\iff x=5.$$

d) Prawa strona wymaga $x\geqslant1$. Dla $1\leqslant x\leqslant3$:

$$3-x=x-1\iff x=2.$$

Dla $x\geqslant3$ otrzymujemy równanie sprzeczne.

e) Mamy $|2x+4|=2|x+2|$. Dla $x\geqslant-2$:

$$2(x+2)-2x=4,$$

czyli równość jest tożsamościowa. Dla $x<-2$ nie otrzymujemy żadnego dopuszczalnego rozwiązania. Zatem $x\in[-2;\infty)$.

f) Liczba $x=0$ spełnia równanie. Dla $x<4$:

$$x(4-x)=x^2+4x\iff -2x^2=0,$$

co ponownie daje $x=0$. Dla $x\geqslant4$ równanie prowadzi do $x=0$, sprzecznego z założeniem. Jedynym rozwiązaniem jest $x=0$.

W każdym podpunkcie dzielimy oś w miejscach, w których zmieniają się znaki wyrażeń pod wartościami bezwzględnymi.

a) Dla $x<2$ mamy

$$2-x-3x>1\iff x<\frac14.$$

Dla $x\geqslant2$ nie ma rozwiązań. Otrzymujemy $x\in\left(-\infty;\frac14\right)$.

b) Punkt podziału to $-3$. Dla $x<-3$:

$$-2(x+3)+x\leqslant3\iff x\geqslant-9,$$

czyli $x\in[-9;-3)$. Dla $x\geqslant-3$:

$$2(x+3)+x\leqslant3\iff x\leqslant-1,$$

co daje $[-3;-1]$. Łącznie otrzymujemy $[-9;-1]$.

c) Dla $x<5$:

$$5-x<x+5\iff x>0.$$

Dla $x\geqslant5$ nierówność jest zawsze prawdziwa. Zatem $x\in(0;\infty)$.

d) Dla $x<-6$ nierówność

$$-x-6\geqslant2x+6$$

jest spełniona w całym rozważanym przedziale. Dla $x\geqslant-6$ otrzymujemy $x+6\geqslant2x+6$, czyli $x\leqslant0$. Stąd $x\in(-\infty;0]$.

e) Ponieważ $|3-x|=|x-3|$ i $|2x-6|=2|x-3|$, nierówność ma postać

$$3|x-3|\leqslant x.$$

Dla $x<3$ daje to $3(3-x)\leqslant x$, czyli $x\geqslant\frac94$. Dla $x\geqslant3$ mamy $3(x-3)\leqslant x$, czyli $x\leqslant\frac92$. Zatem $x\in\left[\frac94;\frac92\right]$.

f) Dla $x<1$:

$$x(1-x)\leqslant x+x^2 \iff -2x^2\leqslant0,$$

a dla $x\geqslant1$:

$$x(x-1)\leqslant x+x^2 \iff -2x\leqslant0.$$

Obie nierówności są prawdziwe na całych rozważanych przedziałach, więc zbiorem rozwiązań jest $\mathbb R$.