NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony, strona 152 — rozwiązania zadań

Zadanie 1

8 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Dla prawej strony dodatniej rozwiązujemy dwa równania: wyrażenie pod wartością bezwzględną jest równe tej liczbie albo liczbie do niej przeciwnej.

Podpunkt	Równania bez wartości bezwzględnej	Rozwiązania
a)	$3x+1=5$ lub $3x+1=-5$	$x=\frac43$ lub $x=-2$
b)	$2x-3=1$ lub $2x-3=-1$	$x=2$ lub $x=1$
c)	$\frac35x+1=2$ lub $\frac35x+1=-2$	$x=\frac53$ lub $x=-5$
d)	$2-\frac23x=3$ lub $2-\frac23x=-3$	$x=-\frac32$ lub $x=\frac{15}{2}$
e)	$4x+5=0$	$x=-\frac54$
f)	wartość bezwzględna nie może być równa $-4$	brak rozwiązań

W podpunktach z wyrażeniem kwadratowym mamy

|x^2-1|=3 \iff x^2-1=3\ \text{lub}\ x^2-1=-3.

Pierwsze równanie daje $x=\pm2$ , a drugie nie ma rozwiązań rzeczywistych. Natomiast

|x^2-3|=1 \iff x^2=4\ \text{lub}\ x^2=2,

więc otrzymujemy $x=\pm2$ oraz $x=\pm\sqrt2$ .

Odpowiedź

a) $x\in\left\{-2,\frac43\right\}$ ; b) $x\in\{1,2\}$ ; c) $x\in\left\{-5,\frac53\right\}$ ; d) $x\in\left\{-\frac32,\frac{15}{2}\right\}$ ; e) $x=-\frac54$ ; f) $\varnothing$ ; g) $x\in\{-2,2\}$ ; h) $x\in\{-2,-\sqrt2,\sqrt2,2\}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 2

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

W każdym podpunkcie wszystkie wartości bezwzględne są wielokrotnościami tej samej wartości bezwzględnej.

a) Ponieważ $|3x-6|=3|x-2|$ , mamy

3|x-2|=7+|x-2| \iff |x-2|=\frac72.

Stąd $x=2\pm\frac72$ , czyli $x=-\frac32$ lub $x=\frac{11}{2}$ .

b)

|4x+6|+|6x+9| =2|2x+3|+3|2x+3| =5|2x+3|.

Zatem $|2x+3|=2$ , skąd $x=-\frac52$ lub $x=-\frac12$ .

c)

|6-x|+\left|\frac12x-3\right|+|2x-12| =\left(1+\frac12+2\right)|x-6|.

Równanie jest więc równoważne $|x-6|=2$ , co daje $x=4$ lub $x=8$ .

d)

|x-2|+|2x-4|+|4x-8|=7|x-2|.

Stąd $|x-2|=1$ , czyli $x=1$ lub $x=3$ .

Odpowiedź

a) $x\in\left\{-\frac32,\frac{11}{2}\right\}$ ; b) $x\in\left\{-\frac52,-\frac12\right\}$ ; c) $x\in\{4,8\}$ ; d) $x\in\{1,3\}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 3

8 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Korzystamy z własności

|u|\leqslant a\iff -a\leqslant u\leqslant a, \qquad |u|>a\iff u<-a\ \text{lub}\ u>a.

Podpunkt	Warunek równoważny	Zbiór rozwiązań
a)	$-2\leqslant3x-5\leqslant2$	$\left[1;\frac73\right]$
b)	$4x-2<-8$ lub $4x-2>8$	$\left(-\infty;-\frac32\right)\cup\left(\frac52;\infty\right)$
c)	$-8<2x+4<8$	$(-6;2)$
d)	$-\frac12<x+\frac13<\frac12$	$\left(-\frac56;\frac16\right)$
e)	$6-3x\leqslant-9$ lub $6-3x\geqslant9$	$(-\infty;-1]\cup[5;\infty)$
f)	$-7\leqslant\frac13x-1\leqslant7$	$[-18;24]$
g)	$-9\leqslant-\frac32x+6\leqslant9$	$[-2;10]$
h)	$-\frac25x-2<-3$ lub $-\frac25x-2>3$	$\left(-\infty;-\frac{25}{2}\right)\cup\left(\frac52;\infty\right)$

Odpowiedź

a) $\left[1;\frac73\right]$ ; b) $\left(-\infty;-\frac32\right)\cup\left(\frac52;\infty\right)$ ; c) $(-6;2)$ ; d) $\left(-\frac56;\frac16\right)$ ; e) $(-\infty;-1]\cup[5;\infty)$ ; f) $[-18;24]$ ; g) $[-2;10]$ ; h) $\left(-\infty;-\frac{25}{2}\right)\cup\left(\frac52;\infty\right)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 3

8 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Stosujemy odpowiednio nierówność podwójną albo alternatywę dwóch nierówności.

Podpunkt	Warunek równoważny	Zbiór rozwiązań
a)	$-7<5x+2<7$	$\left(-\frac95;1\right)$
b)	$-\frac32<3x-\frac12<\frac32$	$\left(-\frac13;\frac23\right)$
c)	$-1\leqslant\frac13x+2\leqslant1$	$[-9;-3]$
d)	$6x+2<-1$ lub $6x+2>1$	$\left(-\infty;-\frac12\right)\cup\left(-\frac16;\infty\right)$
e)	$\frac23x-3\leqslant-5$ lub $\frac23x-3\geqslant5$	$(-\infty;-3]\cup[12;\infty)$
f)	$3x-\frac14<-\frac18$ lub $3x-\frac14>\frac18$	$\left(-\infty;\frac1{24}\right)\cup\left(\frac18;\infty\right)$
g)	$2x-3\neq0$	$\mathbb R\setminus\left\{\frac32\right\}$
h)	$	4x-1

Odpowiedź

a) $\left(-\frac95;1\right)$ ; b) $\left(-\frac13;\frac23\right)$ ; c) $[-9;-3]$ ; d) $\left(-\infty;-\frac12\right)\cup\left(-\frac16;\infty\right)$ ; e) $(-\infty;-3]\cup[12;\infty)$ ; f) $\left(-\infty;\frac1{24}\right)\cup\left(\frac18;\infty\right)$ ; g) $\mathbb R\setminus\left\{\frac32\right\}$ ; h) $\left\{\frac14\right\}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 4

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) Warunek $3\leqslant|2x+1|\leqslant5$ oznacza

2x+1\in[-5;-3]\cup[3;5].

Po rozwiązaniu obu nierówności podwójnych otrzymujemy $x\in[-3;-2]\cup[1;2]$ .

b) Analogicznie

2-3x\in[-7;-4]\cup[4;7],

co daje $x\in\left[-\frac53;-\frac23\right]\cup[2;3]$ .

c) Oznaczmy $t=|x|\geqslant0$ . Wtedy

-2\leqslant4-3t\leqslant3 \iff \frac13\leqslant t\leqslant2.

Zatem $\frac13\leqslant|x|\leqslant2$ , czyli $x\in\left[-2;-\frac13\right]\cup\left[\frac13;2\right]$ .

d) Dla $t=|x|$ mamy

3\leqslant5-2t\leqslant6 \iff -\frac12\leqslant t\leqslant1.

Ponieważ $t\geqslant0$ , pozostaje $|x|\leqslant1$ .

Odpowiedź

a) $[-3;-2]\cup[1;2]$ ; b) $\left[-\frac53;-\frac23\right]\cup[2;3]$ ; c) $\left[-2;-\frac13\right]\cup\left[\frac13;2\right]$ ; d) $[-1;1]$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 5

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Wyłączamy stałe czynniki przed wartości bezwzględne.

Podpunkt	Uproszczona nierówność	Zbiór rozwiązań
a)	$5	x-3
b)	$2	2x-1
c)	$3	x-1
d)	$4	x+1
e)	$5	x-4
f)	$2	x+2

W podpunkcie f) po odjęciu $2|x+2|$ zostaje prawdziwa dla każdego $x$ nierówność $1\leqslant2$ .

Odpowiedź

a) $(0;6)$ ; b) $\left(-\infty;-\frac52\right)\cup\left(\frac72;\infty\right)$ ; c) $(-\infty;-3]\cup[5;\infty)$ ; d) $[-2;0]$ ; e) $\left[\frac83;\frac{16}{3}\right]$ ; f) $\mathbb R$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 6

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Korzystamy z tożsamości $\sqrt{u^2}=|u|$ .

Podpunkt	Uproszczona nierówność	Zbiór rozwiązań
a)	$3	x-5
b)	$4	x+2
c)	$3	x+4
d)	$	x-1

Odpowiedź

a) $[2;8]$ ; b) $(-\infty;-7)\cup(3;\infty)$ ; c) $\left(-\infty;-\frac{13}{3}\right]\cup\left[-\frac{11}{3};\infty\right)$ ; d) $(-\infty;-4)\cup(6;\infty)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem