NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 151

Korzystamy z równoważności $|u|=a\iff u=-a$ lub $u=a$ dla $a>0$.

a)

$$5x-3=-2\quad\text{lub}\quad5x-3=2.$$

Stąd

$$5x=1\quad\text{lub}\quad5x=5,$$

czyli $x=\frac15$ lub $x=1$.

b)

$$9x+5=-4\quad\text{lub}\quad9x+5=4,$$

więc

$$9x=-9\quad\text{lub}\quad9x=-1.$$

Otrzymujemy $x=-1$ lub $x=-\frac19$.

c)

$$\frac23x+4=-6\quad\text{lub}\quad\frac23x+4=6.$$

Po odjęciu $4$:

$$\frac23x=-10\quad\text{lub}\quad\frac23x=2,$$

zatem $x=-15$ lub $x=3$.

d)

$$6-\frac75x=-1\quad\text{lub}\quad6-\frac75x=1.$$

Stąd

$$-\frac75x=-7\quad\text{lub}\quad-\frac75x=-5,$$

czyli $x=5$ lub $x=\frac{25}{7}$.

W każdym podpunkcie wyłączamy wspólne wyrażenie spod wartości bezwzględnych.

a) Ponieważ $2x-6=2(x-3)$,

$$|x-3|+|2x-6| =|x-3|+2|x-3| =3|x-3|.$$

Równanie jest więc równoważne

$$|x-3|=3,$$

skąd $x-3=-3$ lub $x-3=3$. Otrzymujemy $x=0$ lub $x=6$.

b) Mamy $4x-8=4(x-2)$ oraz $2-x=-(x-2)$, zatem

$$|4x-8|+|2-x|=4|x-2|+|x-2|=5|x-2|.$$

Stąd $|x-2|=1$, więc $x=1$ lub $x=3$.

c) Wszystkie wyrażenia są wielokrotnościami $2x+1$:

$$4x+2=2(2x+1),\qquad6x+3=3(2x+1).$$

Lewa strona upraszcza się do

$$2|2x+1|-|2x+1|+3|2x+1|=4|2x+1|.$$

Zatem $|2x+1|=1$, czyli

$$2x+1=-1\quad\text{lub}\quad2x+1=1.$$

Rozwiązaniami są $x=-1$ i $x=0$.

d) Tutaj

$$6x+4=2(3x+2),\qquad9x+6=3(3x+2).$$

Otrzymujemy

$$2|3x+2|-|3x+2|+3|3x+2|=4|3x+2|=8.$$

Stąd $|3x+2|=2$, więc

$$3x+2=-2\quad\text{lub}\quad3x+2=2.$$

Zatem $x=-\frac43$ lub $x=0$.