NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 150

W mianowniku umieszczamy iloczyn czynników liniowych, których zera mają być wyłączone z dziedziny. Stały licznik dobieramy tak, aby $f(0)=6$.

a) Dla mianownika $x-3$ jego wartość w zerze wynosi $-3$. Wybieramy licznik $-18$, ponieważ

$$\frac{-18}{0-3}=6.$$

Funkcja $f(x)=\frac{-18}{x-3}$ ma dokładnie żądaną dziedzinę.

b) Bierzemy mianownik $(x+2)(x-1)$, którego zera to $-2$ i $1$. Dla $x=0$ ma on wartość $-2$, zatem odpowiedni stały licznik to $-12$:

$$\frac{-12}{(0+2)(0-1)}=6.$$

c) Mianownik $(x-1)(x-2)(x-3)$ zeruje się dokładnie dla $1,2,3$, a w zerze przyjmuje wartość $-6$. Wybór licznika $-36$ daje

$$\frac{-36}{(0-1)(0-2)(0-3)}=6.$$

Stałe, niezerowe liczniki nie skracają żadnego z czynników mianowników.

Dziedziną ma być $\mathbb R$, więc mianownik nie może mieć żadnego zera rzeczywistego.

a) Mianownik $x^2-kx+1$ jest trójmianem kwadratowym o wyróżniku

$$\Delta=k^2-4.$$

Nie ma zer rzeczywistych dokładnie wtedy, gdy

$$k^2-4<0\quad\Longleftrightarrow\quad -2<k<2.$$

b) Dla trójmianu $x^2-kx+k$ otrzymujemy

$$\Delta=k^2-4k=k(k-4).$$

Warunek $\Delta<0$ jest spełniony dla

$$0<k<4.$$

c) Najpierw rozpatrujemy wartość, dla której znika współczynnik przy $x^2$. Gdy $k=0$, mianownik jest stały i równy $1$, więc nie ma zera. Dla $k\ne0$ mianownik $kx^2+kx+1$ jest trójmianem kwadratowym, a

$$\Delta=k^2-4k=k(k-4).$$

Warunek $\Delta<0$ daje $0<k<4$. Po dołączeniu przypadku $k=0$ otrzymujemy $0\leqslant k<4$.

a) Mianowniki dają

$$D_f=\mathbb R\setminus\{-1\},\qquad D_g=\mathbb R\setminus\{-3,1\}.$$

Z wykresu funkcji $f$ odczytujemy, że rośnie ona na $(-\infty;-2]$ i $[0;\infty)$, a maleje na $[-2;-1)$ i $(-1;0]$. Punkty zwrotne mają wartości

$$f(-2)=-3,\qquad f(0)=1.$$

Odczyt nierówności kontrolujemy rachunkiem:

$$f(x)+3 =\frac{x^2+4x+4}{x+1} =\frac{(x+2)^2}{x+1}.$$

Stąd

$$f(x)<-3 \quad\Longleftrightarrow\quad x\in(-\infty;-2)\cup(-2;-1).$$

Wykres funkcji $g$ jest rosnący na każdym przedziale jej dziedziny: $(-\infty;-3)$, $(-3;1)$ i $(1;\infty)$. Ponieważ

$$g(x)=-3-\frac{4x}{(x+3)(x-1)},$$

mamy

$$g(x)<-3 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{x}{(x+3)(x-1)}>0.$$

Tabela znaków daje

$$x\in(-3;0)\cup(1;\infty).$$

b) Równanie $f(x)=m$ jest równoważne

$$x^2+(1-m)x+(1-m)=0.$$

Jego wyróżnik wynosi

$$\Delta=(1-m)^2-4(1-m)=(m-1)(m+3).$$

Zatem równanie ma: zero rozwiązań dla $-3<m<1$, jedno dla $m=-3$ lub $m=1$ oraz dwa dla $m<-3$ lub $m>1$.

Dla $g(x)=m$ wartość $m=-3$ daje równanie $x=0$, czyli jedno rozwiązanie. Jeśli oznaczymy $t=m+3\ne0$, po pomnożeniu przez mianownik otrzymamy

$$tx^2+(2t+4)x-3t=0.$$

Wyróżnik tego równania to

$$\Delta=(2t+4)^2+12t^2=16(t^2+t+1)>0.$$

Dlatego dla każdego $m\ne-3$ są dwa rozwiązania. Żadne z nich nie jest równe $-3$ ani $1$, ponieważ te liczby nie zerują równania otrzymanego po wymnożeniu.

a) Rozkładamy wielomiany, zachowując wyłączenia z pierwotnych mianowników:

$$\begin{aligned} f(x) &=\frac{x(x-2)(x+2)}{x^2(x-2)} =\frac{x+2}{x}, & D_f&=\mathbb R\setminus\{0,2\},\\ g(x) &=\frac{(x+2)(x^2+1)}{x(x^2+1)} =\frac{x+2}{x}, & D_g&=\mathbb R\setminus\{0\},\\ h(x) &=\frac{(x+2)(x^2+3)}{x(x^2+3)} =\frac{x+2}{x}, & D_h&=\mathbb R\setminus\{0\}. \end{aligned}$$

Czynniki $x^2+1$ i $x^2+3$ nie mają zer rzeczywistych.

b) Wspólną dziedziną wyrażenia jest $\mathbb R\setminus\{0,2\}$. Na niej wszystkie trzy funkcje są opisane tym samym wzorem, zatem

$$f(x)+g(x)-2h(x) =\frac{x+2}{x}+\frac{x+2}{x}-2\frac{x+2}{x}=0.$$

Równość zachodzi dla każdego argumentu ze wspólnej dziedziny.

c) Na tej samej wspólnej dziedzinie

$$\begin{aligned} f(x)g(x)-h(x) &=\left(\frac{x+2}{x}\right)^2-\frac{x+2}{x}\\ &=\frac{x+2}{x}\left(\frac{x+2}{x}-1\right)\\ &=\frac{2(x+2)}{x^2}. \end{aligned}$$

Dla $x\ne0$ mianownik jest dodatni, dlatego nierówność jest równoważna $x+2\leqslant0$. Punkt $x=-2$ należy do dziedziny, więc wynikiem jest $(-\infty;-2]$.

Dziedziną funkcji jest $\mathbb R\setminus\{0,2\}$. Wygodnie zapisać jej wzór w postaci

$$f(x)=4+\frac3{x^2-2x} =4+\frac3{(x-1)^2-1}.$$

a) Dla $m\ne4$ równanie $f(x)=m$ jest równoważne

$$(x-1)^2=\frac{m-1}{m-4}.$$

Prawa strona jest dodatnia dla $m<1$ lub $m>4$, więc wtedy otrzymujemy dwa rozwiązania. Dla $m=1$ jest równa zeru, co daje jedno rozwiązanie $x=1$. Dla $1<m<4$ jest ujemna, a dla $m=4$ równanie $\frac3{(x-1)^2-1}=0$ jest sprzeczne. Zgadza się to z liczbą przecięć wykresu z prostą poziomą $y=m$.

b) Wystarczy w wyniku z a) zastąpić poziom $m$ nieujemną liczbą $|m|$:

• gdy $1<|m|\leqslant4$, rozwiązań nie ma;
• gdy $|m|=1$, jest jedno rozwiązanie;
• gdy $|m|<1$ lub $|m|>4$, są dwa rozwiązania.

Po zapisaniu tych warunków jako przedziałów parametru $m$ otrzymujemy zbiory podane w odpowiedzi.