NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 149

a) Mianownik $(x+1)^2$ wyklucza $x=-1$. Licznik $(x-1)(x+1)$ zeruje się dla $x=-1,1$, lecz pierwszy kandydat nie należy do dziedziny. Zatem $D_f=\mathbb R\setminus\{-1\}$, a miejscem zerowym jest $x=1$.

b) Mamy

$$x^2-9=(x-3)(x+3),\qquad x^2-6x+9=(x-3)^2.$$

Dziedzina wyklucza $-3$ i $3$. Jedyny kandydat z licznika, $x=3$, jest wykluczony, więc funkcja nie ma miejsc zerowych.

c) Mianownik

$$4x^2-1=(2x-1)(2x+1)$$

wyklucza $x=-\frac12,\frac12$. Zera licznika to $x=\frac14,-1,-\frac12$. Po uwzględnieniu dziedziny pozostają $x=-1$ i $x=\frac14$.

d) Rozkładamy licznik i mianownik:

$$x^3-6x^2+5x=x(x-1)(x-5),\qquad x^2-x=x(x-1).$$

Z dziedziny wykluczamy $0$ i $1$, dlatego spośród zer licznika dopuszczalne jest tylko $x=5$.

a) Dziedzina sumy wyklucza $x=-1,2$. Mamy

$$h(x)=\frac1{x+1}+\frac1{x-2} =\frac{2x-1}{(x+1)(x-2)}.$$

Miejscem zerowym jest $x=\frac12$. Punkty krytyczne w badaniu znaku to $-1,\frac12,2$, a tabela znaków daje

$$h(x)\geqslant0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\in\left(-1;\frac12\right]\cup(2;\infty).$$

b) Wykluczamy $x=-\frac13,1$. Po dodaniu ułamków:

$$h(x)=\frac2{3x+1}+\frac4{1-x} =\frac{2(5x+3)}{(3x+1)(1-x)}.$$

Zatem $h(x)=0$ dla $x=-\frac35$. Analiza znaków przy punktach $-\frac35,-\frac13,1$ prowadzi do

$$h(x)\geqslant0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\in\left(-\infty;-\frac35\right]\cup\left(-\frac13;1\right).$$

c) Dziedzina to $D_h=\mathbb R\setminus\left\{-2,\frac12\right\}$. Suma ma postać

$$\begin{aligned} h(x) &=\frac{x}{2x-1}+\frac{x-1}{3(x+2)}\\ &=\frac{5x^2+3x+1}{3(2x-1)(x+2)}. \end{aligned}$$

Licznik ma wyróżnik $\Delta=3^2-4\cdot5\cdot1=-11<0$ i jest dodatni dla każdego $x$, więc funkcja nie ma miejsc zerowych. Znak sumy jest znakiem mianownika:

$$h(x)\geqslant0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\in(-\infty;-2)\cup\left(\frac12;\infty\right).$$

d) Wykluczamy $x=-2,2$. Sprowadzamy do mianownika $x^2-4$:

$$\begin{aligned} h(x) &=\frac{x^2+x}{x^2-4}+\frac{3-x}{x+2}\\ &=\frac{x^2+x+(3-x)(x-2)}{x^2-4}\\ &=\frac{6(x-1)}{(x-2)(x+2)}. \end{aligned}$$

Miejscem zerowym jest $x=1$. Znak przy punktach $-2,1,2$ daje

$$h(x)\geqslant0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\in(-2;1]\cup(2;\infty).$$

Ze skanu odczytujemy przedziały, na których czerwony wykres $f$ leży nad niebieskim wykresem $g$. Wynik sprawdzamy algebraicznie.

a) Wspólna dziedzina wyklucza $x=1,2$. Różnica funkcji wynosi

$$\begin{aligned} f(x)-g(x) &=\frac{x}{x-1}-\frac{2x-2}{x-2}\\ &=\frac{x(x-2)-2(x-1)^2}{(x-1)(x-2)}\\ &=\frac{-\bigl((x-1)^2+1\bigr)}{(x-1)(x-2)}. \end{aligned}$$

Licznik jest zawsze ujemny. Różnica jest więc dodatnia dokładnie wtedy, gdy $(x-1)(x-2)<0$, czyli dla $x\in(1;2)$.

b) Tutaj $x\ne2,4$ oraz

$$\begin{aligned} f(x)-g(x) &=\frac{2x-3}{x-2}-\frac{2x-9}{x-4}\\ &=\frac{(2x-3)(x-4)-(2x-9)(x-2)} {(x-2)(x-4)}\\ &=\frac{2(x-3)}{(x-2)(x-4)}. \end{aligned}$$

Tabela znaków dla punktów $2,3,4$ daje

$$f(x)>g(x) \quad\Longleftrightarrow\quad x\in(2;3)\cup(4;\infty).$$

Dziedziną iloczynu jest część wspólna dziedzin $f$ i $g$. W przypadku ilorazu dodatkowo wykluczamy miejsca zerowe funkcji $g$.

a) Funkcje wymagają $x\ne-2,-1$. Iloczyn upraszcza się do

$$\begin{aligned} (f\cdot g)(x) &=\frac{x-2}{2(x+2)}\cdot\frac{x+2}{x+1}\\ &=\frac{x-2}{2(x+1)}, \end{aligned}$$

przy czym zachowujemy oba pierwotne wyłączenia. Ponadto $g(x)=0$ dla $x=-2$, które już jest wykluczone. Zatem

$$\frac{f(x)}{g(x)} =\frac{x-2}{2(x+2)}\cdot\frac{x+1}{x+2} =\frac{(x-2)(x+1)}{2(x+2)^2}.$$

Obie dziedziny to $\mathbb R\setminus\{-2,-1\}$.

b) Mamy $D_f=\mathbb R\setminus\{-2,2\}$ i $D_g=\mathbb R\setminus\{-2\}$. Ponieważ $4x-2=2(2x-1)$,

$$(f\cdot g)(x) =\frac{2(2x-1)^2}{(x-2)(x+2)^2}, \qquad D_{f\cdot g}=\mathbb R\setminus\{-2,2\}.$$

W ilorazie skracają się czynniki $x+2$ oraz $2x-1$:

$$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac2{x-2}.$$

Trzeba jednak dodatkowo wykluczyć zero dzielnika $g$, czyli $x=\frac12$. Stąd

$$D_{\frac fg}=\mathbb R\setminus\left\{-2,\frac12,2\right\}.$$

c) Korzystamy z rozkładów

$$4x^2-1=(2x-1)(2x+1),\qquad x^2-9=(x-3)(x+3).$$

Iloczyn ma postać

$$(f\cdot g)(x)=(2x-1)(x-3), \qquad D_{f\cdot g}=\mathbb R\setminus\left\{-3,-\frac12\right\}.$$

Dla ilorazu otrzymujemy

$$\frac{f(x)}{g(x)} =\frac{(2x-1)(2x+1)^2}{(x-3)(x+3)^2}.$$

Oprócz $x=-3,-\frac12$ wykluczamy $x=3$, bo wtedy $g(x)=0$:

$$D_{\frac fg}=\mathbb R\setminus\left\{-3,-\frac12,3\right\}.$$

d) Pierwotne mianowniki dają $x\ne0,-1$. Trójmian

$$x^2-4x+5=(x-2)^2+1$$

jest dodatni, więc $g$ nie ma miejsc zerowych. Wobec tego

$$(f\cdot g)(x) =\frac{(x^2-4)(x^2-4x+5)}{x^3(x+1)}$$

oraz

$$\frac{f(x)}{g(x)} =\frac{(x^2-4)(x+1)}{x(x^2-4x+5)}.$$

Dziedziną obu funkcji wynikowych jest $\mathbb R\setminus\{-1,0\}$.