NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 148

Z dziedziny funkcji wymiernej wykluczamy wszystkie rzeczywiste zera wielomianu $w$.

a)

$$3x^2-6=3(x^2-2)=0\quad\Longleftrightarrow\quad x=\pm\sqrt2.$$

Zatem $D_f=\mathbb R\setminus\{-\sqrt2,\sqrt2\}$.

b)

$$x^4-16=(x^2-4)(x^2+4).$$

Czynnik $x^2+4$ nie ma zer rzeczywistych, a $x^2-4=0$ dla $x=-2,2$. Stąd $D_f=\mathbb R\setminus\{-2,2\}$.

c)

$$4x^3+x^2=x^2(4x+1),$$

więc mianownik zeruje się dla $x=0$ oraz $x=-\frac14$. Otrzymujemy

$$D_f=\mathbb R\setminus\left\{-\frac14,0\right\}.$$

d) Dla każdego $x\in\mathbb R$ mamy $x^4\geqslant0$, a zatem $x^4+1>0$. Mianownik nigdy nie jest równy zeru, więc $D_f=\mathbb R$.

e)

$$x^3-2x^2+x=x(x^2-2x+1)=x(x-1)^2.$$

Zera mianownika to $0$ i $1$, dlatego $D_f=\mathbb R\setminus\{0,1\}$.

f) Grupujemy wyrazy:

$$\begin{aligned} x^3+7x^2-6 &=x^2(x+1)+6(x^2-1)\\ &=(x+1)(x^2+6x-6). \end{aligned}$$

Pierwszy czynnik zeruje się dla $x=-1$. Dla drugiego

$$\Delta=6^2-4\cdot1\cdot(-6)=60,$$ $$x=\frac{-6\pm\sqrt{60}}2=-3\pm\sqrt{15}.$$

Wobec tego

$$D_f=\mathbb R\setminus\{-3-\sqrt{15},-1,-3+\sqrt{15}\}.$$

Dwie funkcje są równe tylko wtedy, gdy mają tę samą dziedzinę i przyjmują te same wartości dla wszystkich argumentów z tej dziedziny.

a)

$$f(x)=\frac{x^2}{x}=x\quad\text{dla }x\ne0.$$

Mamy $D_f=\mathbb R\setminus\{0\}$, natomiast $D_g=\mathbb R$. Dziedziny są różne, więc funkcje nie są równe. Wykres $f$ to prosta $y=x$ z pustym punktem $(0,0)$, a wykres $g$ jest całą prostą.

b)

$$f(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{(x+1)^2} =\frac{x-1}{x+1}\quad\text{dla }x\ne-1.$$

Obie funkcje mają dziedzinę $\mathbb R\setminus\{-1\}$ i ten sam wzór, więc są równe. Ich wykresy pokrywają się; jest to hiperbola $y=1-\frac2{x+1}$ o asymptotach $x=-1$ i $y=1$.

c)

$$f(x)=\frac{x-3}{(x-3)(x+3)}=\frac1{x+3},\qquad D_f=\mathbb R\setminus\{-3,3\},$$

natomiast

$$g(x)=\frac{x+3}{(x+3)^2}=\frac1{x+3},\qquad D_g=\mathbb R\setminus\{-3\}.$$

Dziedziny są różne, więc funkcje nie są równe. Na wykresie $f$ należy dodatkowo zaznaczyć pusty punkt $\left(3,\frac16\right)$.

d) Korzystamy z rozkładów

$$x^2-1=(x-1)(x+1),\qquad 2x^2-3x+1=(2x-1)(x-1).$$

Stąd

$$f(x)=\frac1{x-1},\quad D_f=\mathbb R\setminus\{-1,1\},$$

oraz

$$g(x)=\frac1{x-1},\quad D_g=\mathbb R\setminus\left\{\frac12,1\right\}.$$

Funkcje nie są równe, ponieważ mają różne dziedziny. Oba wykresy mają asymptotę $x=1$, lecz wykres $f$ ma pusty punkt $\left(-1,-\frac12\right)$, a wykres $g$ — $\left(\frac12,-2\right)$.

Dziedziną sumy jest część wspólna dziedzin obu składników.

a) Wykluczamy $x=0$ i $x=4$. Dla pozostałych argumentów

$$\begin{aligned} (f+g)(x) &=\frac3x-\frac2{x-4}\\ &=\frac{3(x-4)-2x}{x(x-4)} =\frac{x-12}{x(x-4)}. \end{aligned}$$

Zatem $D_{f+g}=\mathbb R\setminus\{0,4\}$.

b) Pierwotne mianowniki wykluczają $x=\frac12$ i $x=-\frac12$. Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika:

$$\begin{aligned} (f+g)(x) &=\frac{x}{2x-1}+\frac{1-x}{2x+1}\\ &=\frac{x(2x+1)+(1-x)(2x-1)}{(2x-1)(2x+1)}\\ &=\frac{4x-1}{4x^2-1}. \end{aligned}$$

Stąd $D_{f+g}=\mathbb R\setminus\left\{-\frac12,\frac12\right\}$.