NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 147

Pierwiastek w liczniku wymaga nieujemnego wyrażenia podpierwiastkowego. Jeżeli pierwiastek występuje w mianowniku, jego wyrażenie podpierwiastkowe musi być dodatnie.

a)

$$x-8\geqslant0\quad\Longleftrightarrow\quad x\geqslant8,$$

zatem $D_f=[8;\infty)$.

b)

$$3-x\geqslant0\quad\Longleftrightarrow\quad x\leqslant3,$$

więc $D_f=(-\infty;3]$.

c) Warunek $-x\geqslant0$ daje $x\leqslant0$, czyli $D_f=(-\infty;0]$.

d) Ponieważ $\sqrt{x}$ jest w mianowniku, musi zachodzić $x>0$. Stąd $D_f=(0;\infty)$.

e) Analogicznie

$$x-2>0\quad\Longleftrightarrow\quad x>2,$$

więc $D_f=(2;\infty)$.

f) Warunek $x+2>0$ prowadzi do $D_f=(-2;\infty)$.

g) Muszą być jednocześnie spełnione warunki

$$6-x\geqslant0,\qquad x-1>0.$$

Ich część wspólna to $D_f=(1;6]$.

h) Z licznika mamy $x\geqslant-6$, natomiast mianownik wymaga $x\ne0$ oraz $3-x>0$, czyli $x<3$. Zatem

$$D_f=[-6;0)\cup(0;3).$$

i) Warunki mają postać

$$4-x\geqslant0,\qquad x^2-4\ne0,\qquad x+2>0.$$

Oznacza to $x\leqslant4$, $x\ne-2,2$ i $x>-2$, dlatego

$$D_f=(-2;2)\cup(2;4].$$

Najpierw wyznaczamy dziedzinę. Miejsce zerowe musi należeć do tej dziedziny i zerować licznik.

a) Warunki $x+2\geqslant0$ oraz $x^2-4\ne0$ dają

$$D_f=(-2;2)\cup(2;\infty).$$

Licznik zeruje się tylko dla $x=-2$, lecz ta liczba nie należy do dziedziny. Funkcja nie ma miejsc zerowych.

b) Musi zachodzić $x\leqslant0$ oraz $x\ne\pm\sqrt2$. W rozważanym zakresie trzeba więc wykluczyć $-\sqrt2$:

$$D_f=(-\infty;-\sqrt2)\cup(-\sqrt2;0].$$

Licznik zeruje się dla $x=0$, a mianownik ma wtedy wartość $2$, zatem $f(0)=0$.

c) Pierwiastek w liczniku wymaga $x\leqslant1$, a pierwiastek w mianowniku — $x>-2$. Stąd

$$D_f=(-2;1].$$

Licznik jest równy zeru dla $x=1$, więc $f(1)=0$.

d) Warunki $x+5\geqslant0$ i $x-3>0$ mają część wspólną $D_f=(3;\infty)$. Potencjalne zero licznika $x=-5$ leży poza dziedziną, więc miejsc zerowych nie ma.

e) Ponieważ $\sqrt{x^2}=|x|$, mianownik jest dodatni dokładnie dla $x\ne0$. Zatem

$$D_f=\mathbb R\setminus\{0\}.$$

Jedyny kandydat na miejsce zerowe, $x=0$, jest wykluczony.

f) Pierwiastek $\sqrt{x-1}$ wymaga $x\geqslant1$, a $\sqrt{1-x}$ — $x\leqslant1$. Ich częścią wspólną jest tylko $x=1$. Mianownik ma wtedy wartość $1$, a licznik wartość $0$, zatem

$$D_f=\{1\},\qquad f(1)=0.$$

a) Mianownik $|x|+4$ jest dodatni dla każdej liczby rzeczywistej, więc $D_f=\mathbb R$. Licznik zeruje się, gdy

$$x^2-16=(x-4)(x+4)=0,$$

czyli dla $x=-4$ lub $x=4$. Obie liczby należą do dziedziny.

b) Mianownik $x^2-25$ zeruje się dla $x=-5$ i $x=5$, zatem

$$D_f=\mathbb R\setminus\{-5,5\}.$$

Równanie $5-|x|=0$ ma dokładnie te same dwa rozwiązania, ale oba są wykluczone z dziedziny. Funkcja nie ma miejsc zerowych.

c) Warunek $|x|-3\ne0$ wyklucza $x=-3$ i $x=3$. Licznik $x(x-3)$ zeruje się dla $x=0$ lub $x=3$. Po odrzuceniu $3$ pozostaje jedno miejsce zerowe, $x=0$.