NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony, strona 146 — rozwiązania zadań

Zadanie 1

8 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Przenosimy stałą na lewą stronę, sprowadzamy wyrażenie do jednego ilorazu i badamy jego znak.

Podpunkt	Równoważna nierówność	Punkty krytyczne	Zbiór rozwiązań
a)	$\frac{2x+1}{x+1}>0$	$-1,-\frac12$	$(-\infty;-1)\cup\left(-\frac12;\infty\right)$
b)	$\frac{x+7}{3-x}>0$	$-7,3$	$(-7;3)$
c)	$\frac{3x+19}{x+7}>0$	$-7,-\frac{19}{3}$	$(-\infty;-7)\cup\left(-\frac{19}{3};\infty\right)$
d)	$\frac{7x-9}{5-2x}\leqslant0$	$\frac97,\frac52$	$\left(-\infty;\frac97\right]\cup\left(\frac52;\infty\right)$
e)	$\frac{4x+1}{x}\geqslant0$	$-\frac14,0$	$\left(-\infty;-\frac14\right]\cup(0;\infty)$
f)	$\frac{2-x}{1-2x}>0$	$\frac12,2$	$\left(-\infty;\frac12\right)\cup(2;\infty)$
g)	$\frac{x-10}{5-x}\leqslant0$	$5,10$	$(-\infty;5)\cup[10;\infty)$
h)	$\frac{-9x-13}{2x+5}\geqslant0$	$-\frac52,-\frac{13}{9}$	$\left(-\frac52;-\frac{13}{9}\right]$

Punkt zerujący mianownik w każdym podpunkcie jest wykluczony, natomiast miejsce zerowe licznika włączamy tylko przy nierówności nieostrej.

Odpowiedź

a) $(-\infty;-1)\cup\left(-\frac12;\infty\right)$ ; b) $(-7;3)$ ; c) $(-\infty;-7)\cup\left(-\frac{19}{3};\infty\right)$ ; d) $\left(-\infty;\frac97\right]\cup\left(\frac52;\infty\right)$ ; e) $\left(-\infty;-\frac14\right]\cup(0;\infty)$ ; f) $\left(-\infty;\frac12\right)\cup(2;\infty)$ ; g) $(-\infty;5)\cup[10;\infty)$ ; h) $\left(-\frac52;-\frac{13}{9}\right]$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 2

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Każdą podwójną nierówność zapisujemy jako układ dwóch nierówności, a na końcu przecinamy otrzymane zbiory.

a)

\frac2{x+2}\geqslant0\iff x>-2,

\frac2{x+2}\leqslant4\iff\frac{2x+3}{x+2}\geqslant0 \iff x\in(-\infty;-2)\cup\left[-\frac32;\infty\right).

Przecięciem jest $\left[-\frac32;\infty\right)$ .

b) Pierwsza nierówność daje $x\in(-\infty;-1]\cup\left(-\frac12;\infty\right)$ , a druga $x\in\left(-\infty;-\frac12\right)\cup(0;\infty)$ . Ich częścią wspólną jest

(-\infty;-1]\cup(0;\infty).

c) Warunek lewy jest równoważny $\frac{2x+1}{x+1}>0$ , a prawy nierówności $\frac{-2}{x+1}<0$ . Otrzymujemy odpowiednio

(-\infty;-1)\cup\left(-\frac12;\infty\right) \quad\text{oraz}\quad(-1;\infty),

więc rozwiązaniem układu jest $\left(-\frac12;\infty\right)$ .

d) Warunek lewy prowadzi do $\frac{2x}{x+1}>0$ , czyli $x\in(-\infty;-1)\cup(0;\infty)$ . Warunek prawy daje $\frac{-2}{x+1}<0$ , czyli $x>-1$ . Przecięciem jest $(0;\infty)$ .

e)

\frac{x+2}{x+1}\leqslant1\iff\frac1{x+1}\leqslant0\iff x<-1,

1\leqslant\frac{x+6}{x+3}\iff\frac3{x+3}\geqslant0\iff x>-3.

Zatem $x\in(-3;-1)$ .

f) Pierwsza nierówność daje $x\in[-4;2)$ , natomiast druga $x\in[3;5)$ . Te zbiory są rozłączne.

Odpowiedź

a) $\left[-\frac32;\infty\right)$ ; b) $(-\infty;-1]\cup(0;\infty)$ ; c) $\left(-\frac12;\infty\right)$ ; d) $(0;\infty)$ ; e) $(-3;-1)$ ; f) $\varnothing$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 3

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Przenosimy prawą stronę na lewą, sprowadzamy różnicę do wspólnego mianownika, a następnie układamy punkty krytyczne na osi i badamy znaki.

Podpunkt	Równoważna nierówność	Punkty krytyczne	Zbiór rozwiązań
a)	$\frac{5-x}{(x-4)(x-3)}\leqslant0$	$3,4,5$	$(3;4)\cup[5;\infty)$
b)	$\frac{(x+3)(x+5)}{(x+2)(2x+7)}\geqslant0$	$-5,-\frac72,-3,-2$	$(-\infty;-5]\cup\left(-\frac72;-3\right]\cup(-2;\infty)$
c)	$\frac{-x^2+4x-1}{x(x+1)}>0$	$-1,0,2-\sqrt3,2+\sqrt3$	$(-1;0)\cup(2-\sqrt3;2+\sqrt3)$
d)	$\frac{11x+1}{(x-1)(x+2)}>0$	$-2,-\frac1{11},1$	$\left(-2;-\frac1{11}\right)\cup(1;\infty)$
e)	$\frac{x+2}{2(x-1)(2x-1)}\geqslant0$	$-2,\frac12,1$	$\left[-2;\frac12\right)\cup(1;\infty)$
f)	$\frac{2x^2+12x+9}{(x-3)(2x+3)}\leqslant0$	$-3-\frac{3\sqrt2}{2},-\frac32,-3+\frac{3\sqrt2}{2},3$	$\left[-3-\frac{3\sqrt2}{2};-\frac32\right)\cup\left[-3+\frac{3\sqrt2}{2};3\right)$

Na osiach miejsca zerowe liczników zaznaczamy pełnym punktem tylko dla nierówności nieostrych. Wszystkie miejsca zerowe mianowników zaznaczamy punktami pustymi.

Odpowiedź

a) $(3;4)\cup[5;\infty)$ ;

b) $(-\infty;-5]\cup\left(-\frac72;-3\right]\cup(-2;\infty)$ ;

c) $(-1;0)\cup(2-\sqrt3;2+\sqrt3)$ ;

d) $\left(-2;-\frac1{11}\right)\cup(1;\infty)$ ;

e) $\left[-2;\frac12\right)\cup(1;\infty)$ ;

f) $\left[-3-\frac{3\sqrt2}{2};-\frac32\right)\cup\left[-3+\frac{3\sqrt2}{2};3\right)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 4

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Najpierw rozwiązujemy nierówności definiujące zbiory $A$ i $B$ .

a)

\frac8{x+2}>2\iff\frac{2-x}{x+2}>0,

stąd $A=(-2;2)$ . Ponadto

\frac4{x+1}\geqslant-2\iff\frac{x+3}{x+1}\geqslant0,

więc $B=(-\infty;-3]\cup(-1;\infty)$ . Zaznaczenie obu zbiorów na wspólnej osi daje

A\cup B=(-\infty;-3]\cup(-2;\infty),

A\cap B=(-1;2),

A\setminus B=(-2;-1].

b) Z nierówności $\frac1{x-1}<0$ otrzymujemy $A=(-\infty;1)$ . Dla zbioru $B$ :

\frac{x-1}{x-3}-\frac{x+1}{x-2} =\frac{5-x}{(x-3)(x-2)}\geqslant0,

czyli $B=(-\infty;2)\cup(3;5]$ . Zatem

A\cup B=(-\infty;2)\cup(3;5],

A\cap B=(-\infty;1),

A\setminus B=\varnothing.

c) Pierwszą nierówność sprowadzamy do $\frac{x}{x+1}\geqslant0$ , skąd

A=(-\infty;-1)\cup[0;\infty).

Dla drugiej nierówności otrzymujemy

\frac{-4(10x+1)}{(4x+3)(2x-5)}\leqslant0,

więc

B=\left(-\frac34;-\frac1{10}\right]\cup\left(\frac52;\infty\right).

Wobec tego

A\cup B=(-\infty;-1)\cup\left(-\frac34;-\frac1{10}\right]\cup[0;\infty),

A\cap B=\left(\frac52;\infty\right),

A\setminus B=(-\infty;-1)\cup\left[0;\frac52\right].

Odpowiedź

a) $A\cup B=(-\infty;-3]\cup(-2;\infty)$ , $A\cap B=(-1;2)$ , $A\setminus B=(-2;-1]$ .

b) $A\cup B=(-\infty;2)\cup(3;5]$ , $A\cap B=(-\infty;1)$ , $A\setminus B=\varnothing$ .

c) $A\cup B=(-\infty;-1)\cup\left(-\frac34;-\frac1{10}\right]\cup[0;\infty)$ , $A\cap B=\left(\frac52;\infty\right)$ , $A\setminus B=(-\infty;-1)\cup\left[0;\frac52\right]$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 5

9 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Rozkładamy liczniki i mianowniki na czynniki. Jeżeli skracamy wspólny czynnik, jego miejsce zerowe nadal pozostaje wykluczone z dziedziny.

Podpunkt	Postać do badania znaku i liczby wykluczone	Zbiór rozwiązań
a)	$\frac{(x+1)^2}{(x+1)(x-2)}>0$ , $x\neq-1,2$	$(-\infty;-1)\cup(2;\infty)$
b)	$\frac{2x+1}{x(x+2)^2}\leqslant0$ , $x\neq-2,0$	$\left[-\frac12;0\right)$
c)	$\frac{x^2(x+4)}{(x+4)(x-3)}\geqslant0$ , $x\neq-4,3$	$\{0\}\cup(3;\infty)$
d)	$\frac{-(x-1)(x-5)}{(x-4)(x+4)}\leqslant0$ , $x\neq-4,4$	$(-\infty;-4)\cup[1;4)\cup[5;\infty)$
e)	$\frac{-(x+5)}{(x-4)(x+4)}\geqslant0$ , $x\neq-4,0,4$	$(-\infty;-5]\cup(-4;0)\cup(0;4)$
f)	$\frac{2x^2-5}{x(x+1)(x+2)}>0$ , $x\neq-2,-1,0$	$\left(-2;-\frac{\sqrt{10}}2\right)\cup(-1;0)\cup\left(\frac{\sqrt{10}}2;\infty\right)$
g)	$\frac{-8(x+2)}{x(2x+7)(2x+5)}<0$ , $x\neq-\frac72,-\frac52,0$	$\left(-\infty;-\frac72\right)\cup\left(-\frac52;-2\right)\cup(0;\infty)$
h)	$\frac{4x^2-x+3}{3x(x-1)(x+1)}\leqslant0$ , $x\neq-1,0,1$	$(-\infty;-1)\cup(0;1)$
i)	$\frac{x(x-3)}{(x-2)(x+2)}\leqslant0$ , $x\neq-2,2$	$(-2;0]\cup(2;3]$

W podpunkcie h) licznik jest zawsze dodatni, ponieważ jego wyróżnik wynosi $-47$ . O znaku ilorazu decyduje więc wyłącznie mianownik.

Odpowiedź

a) $(-\infty;-1)\cup(2;\infty)$ ;

b) $\left[-\frac12;0\right)$ ;

c) $\{0\}\cup(3;\infty)$ ;

d) $(-\infty;-4)\cup[1;4)\cup[5;\infty)$ ;

e) $(-\infty;-5]\cup(-4;0)\cup(0;4)$ ;

f) $\left(-2;-\frac{\sqrt{10}}2\right)\cup(-1;0)\cup\left(\frac{\sqrt{10}}2;\infty\right)$ ;

g) $\left(-\infty;-\frac72\right)\cup\left(-\frac52;-2\right)\cup(0;\infty)$ ;

h) $(-\infty;-1)\cup(0;1)$ ;

i) $(-2;0]\cup(2;3]$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 6

8 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Sprowadzamy wszystkie wyrazy na lewą stronę do wspólnego mianownika i rozkładamy licznik na czynniki.

Podpunkt	Równoważna nierówność	Zbiór rozwiązań
a)	$\frac{-(2x+5)}{(x+2)(x+3)}\geqslant0$	$(-\infty;-3)\cup\left[-\frac52;-2\right)$
b)	$\frac{7x-22}{(4-x)(x+2)}<0$	$\left(-2;\frac{22}{7}\right)\cup(4;\infty)$
c)	$\frac{-4(x^2-4x-4)}{(x-3)(2x+1)}\leqslant0$	$(-\infty;2-2\sqrt2]\cup\left(-\frac12;3\right)\cup[2+2\sqrt2;\infty)$
d)	$\frac2{x^2-4}>0$	$(-\infty;-2)\cup(2;\infty)$
e)	$\frac{1-9x-18x^2}{(3x-1)(3x+1)}\leqslant0$	$\left(-\infty;\frac{-3-\sqrt{17}}{12}\right]\cup\left(-\frac13;\frac{-3+\sqrt{17}}{12}\right]\cup\left(\frac13;\infty\right)$
f)	$\frac{2x-3}{(x-1)^3}\geqslant0$	$(-\infty;1)\cup\left[\frac32;\infty\right)$
g)	$\frac1{x(x+1)}\geqslant0$ , przy zachowanym wykluczeniu $x=-2$	$(-\infty;-2)\cup(-2;-1)\cup(0;\infty)$
h)	$\frac2{x(x-1)(x+1)}>0$	$(-1;0)\cup(1;\infty)$

W podpunkcie g) czynnik $x+2$ skrócił się, ale $-2$ pozostaje poza dziedziną równania wyjściowego. We wszystkich podpunktach miejsca zerowe mianowników są wykluczone.

Odpowiedź

a) $(-\infty;-3)\cup\left[-\frac52;-2\right)$ ;

b) $\left(-2;\frac{22}{7}\right)\cup(4;\infty)$ ;

c) $(-\infty;2-2\sqrt2]\cup\left(-\frac12;3\right)\cup[2+2\sqrt2;\infty)$ ;

d) $(-\infty;-2)\cup(2;\infty)$ ;

e) $\left(-\infty;\frac{-3-\sqrt{17}}{12}\right]\cup\left(-\frac13;\frac{-3+\sqrt{17}}{12}\right]\cup\left(\frac13;\infty\right)$ ;

f) $(-\infty;1)\cup\left[\frac32;\infty\right)$ ;

g) $(-\infty;-2)\cup(-2;-1)\cup(0;\infty)$ ;

h) $(-1;0)\cup(1;\infty)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem