NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony, strona 145 — rozwiązania zadań

Ćwiczenie 2

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Na wykresach porównujemy położenie gałęzi z prostymi $y=2$ i $y=-2$ . Odczytane przedziały sprawdzamy algebraicznie.

a) Dla $f(x)=\frac2x$ :

f(x)>2\iff\frac{2(1-x)}x>0\iff x\in(0;1),

f(x)\geqslant-2\iff\frac{2(x+1)}x\geqslant0 \iff x\in(-\infty;-1]\cup(0;\infty).

b) Dla $f(x)=-\frac6x$ :

f(x)>2\iff\frac{-2(x+3)}x>0\iff x\in(-3;0),

f(x)\geqslant-2\iff\frac{2(x-3)}x\geqslant0 \iff x\in(-\infty;0)\cup[3;\infty).

c) Dla $f(x)=\frac{2x-6}{x-5}$ , gdzie $x\neq5$ :

f(x)>2\iff\frac4{x-5}>0\iff x\in(5;\infty),

f(x)\geqslant-2\iff\frac{4(x-4)}{x-5}\geqslant0 \iff x\in(-\infty;4]\cup(5;\infty).

Odpowiedź

a) $f(x)>2$ dla $x\in(0;1)$ , a $f(x)\geqslant-2$ dla $x\in(-\infty;-1]\cup(0;\infty)$ .

b) $f(x)>2$ dla $x\in(-3;0)$ , a $f(x)\geqslant-2$ dla $x\in(-\infty;0)\cup[3;\infty)$ .

c) $f(x)>2$ dla $x\in(5;\infty)$ , a $f(x)\geqslant-2$ dla $x\in(-\infty;4]\cup(5;\infty)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 3

8 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Przenosimy prawą stronę na lewą, sprowadzamy wyrażenia do jednego ilorazu i badamy jego znak.

Podpunkt	Równoważna nierówność	Punkty krytyczne	Zbiór rozwiązań
a)	$\frac{5-x}{x-2}\geqslant0$	$2,5$	$(2;5]$
b)	$\frac{19-x}{x-4}>0$	$4,19$	$(4;19)$
c)	$\frac{3x-10}{4-x}<0$	$\frac{10}{3},4$	$\left(-\infty;\frac{10}{3}\right)\cup(4;\infty)$
d)	$\frac{3-x}{x-2}\leqslant0$	$2,3$	$(-\infty;2)\cup[3;\infty)$
e)	$\frac{3x+1}{x}\leqslant0$	$-\frac13,0$	$\left[-\frac13;0\right)$
f)	$\frac{-4}{x+1}>0$	$-1$	$(-\infty;-1)$
g)	$\frac{-3(x+4)}{x+3}<0$	$-4,-3$	$(-\infty;-4)\cup(-3;\infty)$
h)	$\frac{5-x}{x+\frac12}\leqslant0$	$-\frac12,5$	$\left(-\infty;-\frac12\right)\cup[5;\infty)$

Miejsca zerowe liczników włączamy tylko przy znakach nieostrych; miejsca zerowe mianowników są zawsze wykluczone.

Odpowiedź

a) $(2;5]$ ; b) $(4;19)$ ; c) $\left(-\infty;\frac{10}{3}\right)\cup(4;\infty)$ ; d) $(-\infty;2)\cup[3;\infty)$ ; e) $\left[-\frac13;0\right)$ ; f) $(-\infty;-1)$ ; g) $(-\infty;-4)\cup(-3;\infty)$ ; h) $\left(-\infty;-\frac12\right)\cup[5;\infty)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 4

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Po przeniesieniu wszystkich wyrazów na lewą stronę i sprowadzeniu ich do wspólnego mianownika otrzymujemy:

Podpunkt	Nierówność ilorazowa	Punkty krytyczne	Zbiór rozwiązań
a)	$\frac{7x-9}{(x-3)(x-1)}\leqslant0$	$1,\frac97,3$	$(-\infty;1)\cup\left[\frac97;3\right)$
b)	$\frac{-3(5x+12)}{(x+2)(x+4)}>0$	$-4,-\frac{12}{5},-2$	$(-\infty;-4)\cup\left(-\frac{12}{5};-2\right)$
c)	$\frac{(2x+3)(x-3)}{(x-2)^2}\leqslant0$	$-\frac32,2,3$	$\left[-\frac32;2\right)\cup(2;3]$
d)	$\frac{-x^2+2x+1}{(x+1)(x-1)}\geqslant0$	$-1,1-\sqrt2,1,1+\sqrt2$	$(-1;1-\sqrt2]\cup(1;1+\sqrt2]$
e)	$\frac{(4x+9)(x-4)}{x(x+2)(x+3)}\geqslant0$	$-3,-\frac94,-2,0,4$	$\left(-3;-\frac94\right]\cup(-2;0)\cup[4;\infty)$
f)	$\frac{x^2+2x-1}{x(x-1)(x+1)}<0$	$-1-\sqrt2,-1,0,-1+\sqrt2,1$	$(-\infty;-1-\sqrt2)\cup(-1;0)\cup(-1+\sqrt2;1)$

Znaki na kolejnych przedziałach wyznaczamy z rozkładów na czynniki. Liczby zerujące mianowniki pozostają wykluczone.

Odpowiedź

a) $(-\infty;1)\cup\left[\frac97;3\right)$ ;

b) $(-\infty;-4)\cup\left(-\frac{12}{5};-2\right)$ ;

c) $\left[-\frac32;2\right)\cup(2;3]$ ;

d) $(-1;1-\sqrt2]\cup(1;1+\sqrt2]$ ;

e) $\left(-3;-\frac94\right]\cup(-2;0)\cup[4;\infty)$ ;

f) $(-\infty;-1-\sqrt2)\cup(-1;0)\cup(-1+\sqrt2;1)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem