NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 143

Współrzędna $x$ punktu wspólnego musi spełniać równanie otrzymane przez przyrównanie wzorów funkcji. We wszystkich podpunktach $x\neq1$.

a)

$$\frac{2x+2}{x-1}=x+1$$ $$2x+2=(x+1)(x-1),\qquad x^2-2x-3=0,\qquad (x+1)(x-3)=0.$$

Stąd $x=-1$ lub $x=3$. Z prostej $y=x+1$ dostajemy odpowiednio $y=0$ i $y=4$.

b)

$$\frac{2x+2}{x-1}=2x+2$$ $$2x+2=(2x+2)(x-1),\qquad (2x+2)(2-x)=0.$$

Zatem $x=-1$ lub $x=2$, a z równania prostej: $y=0$ lub $y=6$.

c)

$$\frac{2x+2}{x-1}=\frac{x+1}{2}$$ $$4(x+1)=(x+1)(x-1),\qquad (x+1)(x-5)=0.$$

Otrzymujemy $x=-1$ lub $x=5$, a następnie $y=0$ lub $y=3$.

Z symetrii kwadratu względem obu osi wynika, że jego wierzchołki mają postać

$$A=(-t,-t),\quad B=(t,-t),\quad C=(t,t),\quad D=(-t,t),\qquad t>0.$$

Punkt $C=(t,t)$ należy do hiperboli, więc

$$t=\frac at,\qquad t^2=a,\qquad t=\sqrt a.$$

Bok kwadratu ma długość $2t$, zatem

$$P=(2t)^2=4t^2=4a.$$

a) Dla $a=4$ mamy $t=2$. Wierzchołki to $A=(-2,-2)$, $B=(2,-2)$, $C=(2,2)$, $D=(-2,2)$, a pole wynosi $16$.

b) Dla $a=3$ mamy $t=\sqrt3$. Wierzchołki to $A=(-\sqrt3,-\sqrt3)$, $B=(\sqrt3,-\sqrt3)$, $C=(\sqrt3,\sqrt3)$, $D=(-\sqrt3,\sqrt3)$, a pole wynosi $12$.

Punkty przecięcia wykresów wyznaczamy przez przyrównanie prawych stron równań.

a) Przy $x\neq0$:

$$\frac3x=x+2\iff x^2+2x-3=0\iff(x+3)(x-1)=0.$$

Dla $x=-3$ mamy $y=-1$, a dla $x=1$ mamy $y=3$.

b) Przy $x\neq2$:

$$\frac{-4}{x-2}=-x-1\iff x^2-x-6=0\iff(x+2)(x-3)=0.$$

Dla $x=-2$ mamy $y=1$, a dla $x=3$ mamy $y=-4$.

c) Przy $x\neq-3$:

$$\frac{-x-1}{x+3}=2x+5\iff -x-1=(2x+5)(x+3).$$ $$2x^2+12x+16=0\iff2(x+2)(x+4)=0.$$

Dla $x=-4$ mamy $y=-3$, a dla $x=-2$ mamy $y=1$.

Na szkicach wykresów rozwiązaniami są dokładnie zaznaczone punkty przecięcia; odczyt graficzny daje te same pary współrzędnych.

Współrzędne $x$ punktów przecięcia spełniają, przy $x\neq0$,

$$\frac2x=-x^2+2x+1.$$

Mnożymy przez $x$ i rozkładamy otrzymany wielomian:

$$x^3-2x^2-x+2=0,$$ $$x^2(x-2)-(x-2)=0,\qquad (x-2)(x-1)(x+1)=0.$$

Stąd $x=-1,1,2$. Drugą współrzędną wygodnie obliczyć ze wzoru $y=\frac2x$:

$$x=-1\Rightarrow y=-2,\qquad x=1\Rightarrow y=2,\qquad x=2\Rightarrow y=1.$$

a) Dziedzina funkcji wymiernej wyklucza $x=-2$. Przyrównujemy wzory:

$$\frac{x}{x+2}=x^2+2x=x(x+2).$$

Po pomnożeniu przez $x+2$ otrzymujemy

$$x=x(x+2)^2,\qquad x\big((x+2)^2-1\big)=0.$$

Zatem $x=0$, $x=-1$ lub $x=-3$. Ze wzoru $y=x^2+2x$ dostajemy punkty $(0,0)$, $(-1,-1)$ i $(-3,3)$.

b) Tutaj $x\neq-1$. Mamy

$$\frac{-2x}{x+1}=-x^2.$$

Po pomnożeniu przez $x+1$:

$$-2x=-x^2(x+1),\qquad x(x^2+x-2)=x(x+2)(x-1)=0.$$

Stąd $x=0,-2,1$. Dla $y=-x^2$ otrzymujemy punkty $(0,0)$, $(-2,-4)$ i $(1,-1)$.

Szkice obu par wykresów potwierdzają, że są to wszystkie punkty przecięcia.