NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony, strona 142 — rozwiązania zadań

Zadanie 1

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

W każdym podpunkcie najpierw wykluczamy miejsca zerowe mianowników, a następnie mnożymy równanie przez ich wspólny mianownik.

Podpunkt	Założenia	Równanie po usunięciu mianowników	Rozwiązanie
a)	$x\neq 0,-2$	$4(x+2)=3x$	$x=-8$
b)	$x\neq -2,3$	$2(x-3)-(x+2)=0$	$x=8$
c)	$x\neq 0,1$	$x^2=(x+2)(x-1)$ , więc $x=2$	$x=2$
d)	$x\neq -2,2$	$(x-3)(x+2)=(x+3)(x-2)$ , więc $-2x=0$	$x=0$
e)	$x\neq 0,-\frac12$	$(x+1)(2x+1)=x(x+1)$ , czyli $(x+1)^2=0$	$x=-1$
f)	$x\neq 0,\frac12$	$x(x+1)-2(2x-1)=0$ , czyli $(x-1)(x-2)=0$	$x=1$ lub $x=2$

Wszystkie otrzymane liczby spełniają odpowiednie założenia.

Odpowiedź

a) $x=-8$ ; b) $x=8$ ; c) $x=2$ ; d) $x=0$ ; e) $x=-1$ ; f) $x\in\{1,2\}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 2

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Po zapisaniu założeń usuwamy mianowniki.

Podpunkt	Założenia	Równanie wielomianowe	Pierwiastki dopuszczalne
a)	$x\neq -4,2$	$(x+2)(x-2)-(x+4)^2=0$ , czyli $-8x-20=0$	$-\frac52$
b)	$x\neq -1,0$	$4(x+1)+x^2=0$ , czyli $(x+2)^2=0$	$-2$
c)	$x\neq 0,\frac12$	$x(x+4)-(2x-1)=0$ , czyli $(x+1)^2=0$	$-1$
d)	$x\neq -2,-1$	$(x+1)^2+x(x+2)=0$ , czyli $2x^2+4x+1=0$	$-1\pm\frac{\sqrt2}{2}$
e)	$x\neq 1,4$	$(8-2x)(x-4)+(x-3)(x-1)=0$ , czyli $x^2-12x+29=0$	$6\pm\sqrt7$
f)	$x\neq -2,1$	$(2-x)(x+2)-(x-1)^2=0$ , czyli $2x^2-2x-3=0$	$\frac{1\pm\sqrt7}{2}$

Żaden z otrzymanych pierwiastków nie jest liczbą wykluczoną z dziedziny.

Odpowiedź

a) $x=-\frac52$ ; b) $x=-2$ ; c) $x=-1$ ; d) $x=-1\pm\frac{\sqrt2}{2}$ ; e) $x=6\pm\sqrt7$ ; f) $x=\frac{1\pm\sqrt7}{2}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 3

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Szukamy tylko tych rozwiązań, które są liczbami całkowitymi i należą do dziedziny danego równania.

Podpunkt	Równanie po usunięciu mianowników	Kandydaci	Pierwiastki całkowite
a)	$x^2+2x-15=(x+5)(x-3)=0$	$-5,3$	$-5,3$
b)	$2x^2-5x-3=(2x+1)(x-3)=0$ , $x\neq0$	$-\frac12,3$	$3$
c)	$x^2+2x-3=(x+3)(x-1)=0$ , $x\neq1$	$-3,1$	$-3$
d)	$2x^2-3x-2=(2x+1)(x-2)=0$ , $x\neq1$	$-\frac12,2$	$2$
e)	$2(3x-2)(x-1)=0$ , $x\neq\frac23$	$\frac23,1$	$1$
f)	$6x^2+x-2=(3x+2)(2x-1)=0$ , $x\neq0$	$-\frac23,\frac12$	brak

Odpowiedź

a) $x\in\{-5,3\}$ ; b) $x=3$ ; c) $x=-3$ ; d) $x=2$ ; e) $x=1$ ; f) równanie nie ma pierwiastków całkowitych.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 4

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Upraszczamy lewe strony, pamiętając o dziedzinach.

I. Dla $x\neq1$ mamy $\frac{3(x-1)}{x-1}=3$ . Otrzymujemy fałszywe zdanie $3=2$ , więc równanie nie ma rozwiązania.
II. Dla $x\neq\frac13$ mamy $\frac{2(3x-1)}{3x-1}=2$ . Równość jest tożsamościowa, więc rozwiązaniem jest każda liczba rzeczywista poza $\frac13$ .
III. Dla $x\neq\frac14$ mamy $\frac{-(4x-1)}{2(4x-1)}=-\frac12$ . Równość jest tożsamościowa.
IV. Dla $x\neq-3$ mamy $\frac{3(x+3)}{10(x+3)}=\frac3{10}=0{,}3$ . Równość jest tożsamościowa.

Odpowiedź

Równanie I nie ma rozwiązania. Równania II, III i IV mają nieskończenie wiele rozwiązań, odpowiednio: $\mathbb R\setminus\left\{\frac13\right\}$ , $\mathbb R\setminus\left\{\frac14\right\}$ i $\mathbb R\setminus\{-3\}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 5

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Wystarczy ustalić liczbę dopuszczalnych pierwiastków.

Podpunkt	Po usunięciu mianowników	Wniosek
a)	$(x+3)(x-1)=0$ , przy $x\neq1$	jeden pierwiastek: $-3$
b)	$x^2-2x+2=0$ , $\Delta=-4$	brak pierwiastków
c)	$\frac{-2(2-3x)}{2-3x}=-2$ , przy $x\neq\frac23$	nieskończenie wiele rozwiązań
d)	$2x^2-5x-3=0$ , $\Delta=49$	dwa dopuszczalne pierwiastki: $-\frac12,3$
e)	obie strony są równe $\frac{3-x}{2x-1}$ dla $x\neq\frac12$	nieskończenie wiele rozwiązań
f)	dla $x\neq1$ prawa strona jest równa $3$ , zatem $x=3$	jeden pierwiastek

Odpowiedź

a) $1$ ; b) $0$ ; c) nieskończenie wiele; d) $2$ ; e) nieskończenie wiele; f) $1$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 7

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Dziedziną równania jest $\mathbb R\setminus\{2\}$ .

Jeśli $a=0$ , licznik ma stałą wartość $-4$ , więc ułamek nigdy nie jest równy zeru. Równanie jest wtedy sprzeczne.

Jeśli $a\neq0$ , jedynym kandydatem jest

a^2x-4=0,\qquad x=\frac4{a^2}.

Równanie jest sprzeczne dokładnie wtedy, gdy ten kandydat jest wykluczony z dziedziny:

\frac4{a^2}=2\iff a^2=2\iff a=\pm\sqrt2.

Odpowiedź

$a\in\{-\sqrt2,0,\sqrt2\}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 8

8 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Rozkładamy mianowniki na czynniki, zapisujemy liczby wykluczone, a potem usuwamy mianowniki.

Podpunkt	Liczby wykluczone	Równanie po usunięciu mianowników	Rozwiązania dopuszczalne
a)	$-1,1$	$2-x=2(1-x^2)$ , czyli $x(2x-1)=0$	$0,\frac12$
b)	$-\frac12$	$3-x-5x(2x+1)=0$ , czyli $10x^2+6x-3=0$	$\frac{-3\pm\sqrt{39}}{10}$
c)	$-1,1$	$2x(x+1)=-(x-1)^2$ , czyli $3x^2+1=0$	brak
d)	$-3,3$	$(2x+1)(x-3)-(x-1)(x+3)=0$ , czyli $x(x-7)=0$	$0,7$
e)	$-4,4$	$2(x-4)+3(x+4)=14$	$2$
f)	$-2,0,2$	$6x(x-2)+24x+x^2-4=0$ , czyli $(7x-2)(x+2)=0$	$\frac27$ ; $-2$ odrzucamy
g)	$0,4$	$x(x+5)+3(x-4)=36$ , czyli $(x+12)(x-4)=0$	$-12$ ; $4$ odrzucamy
h)	$-2,2$	$x(x-2)+(x+2)=4$ , czyli $(x-2)(x+1)=0$	$-1$ ; $2$ odrzucamy

Odpowiedź

a) $x\in\left\{0,\frac12\right\}$ ; b) $x=\frac{-3\pm\sqrt{39}}{10}$ ; c) $\varnothing$ ; d) $x\in\{0,7\}$ ; e) $x=2$ ; f) $x=\frac27$ ; g) $x=-12$ ; h) $x=-1$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem