NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 141

Po wyznaczeniu dziedziny mnożymy obie strony przez iloczyn mianowników.

a) $x\ne-1,-5$. Mnożenie na krzyż daje

$$7(x+5)=3(x+1)\quad\Longrightarrow\quad x=-8.$$

b) $x\ne4,6$ oraz

$$4(x-6)=3(x-4)\quad\Longrightarrow\quad x=12.$$

c) $x\ne1,-\frac32$. Mamy

$$-2(2x+3)=4(x-1)\quad\Longrightarrow\quad x=-\frac14.$$

d) $x\ne\frac12,-\frac23$. Dalej

$$4(3x+2)=-3(2x-1)\quad\Longrightarrow\quad 18x=-5\quad\Longrightarrow\quad x=-\frac5{18}.$$

e) $x\ne2,1$. Po wymnożeniu:

$$x(x-1)=(x+2)(x-2)\quad\Longrightarrow\quad x^2-x=x^2-4\quad\Longrightarrow\quad x=4.$$

f) $x\ne0,-\frac12$. Otrzymujemy

$$(x-3)(2x+1)=2x(x-2).$$

Po rozwinięciu obu stron:

$$2x^2-5x-3=2x^2-4x,\qquad x=-3.$$

Każdy wynik należy do dziedziny odpowiedniego równania.

a) Założenia: $x\ne1,\frac52$. Po wymnożeniu:

$$5(2x-5)=(x+1)(x-1) \quad\Longleftrightarrow\quad x^2-10x+24=(x-4)(x-6)=0.$$

Otrzymujemy $x=4$ lub $x=6$.

b) Założenia: $x\ne-\frac12,-1$. Mamy

$$(x+5)(x+1)=2x+1 \quad\Longleftrightarrow\quad x^2+4x+4=(x+2)^2=0.$$

Zatem $x=-2$.

c) Założenia: $x\ne0,8$. Mnożenie na krzyż daje

$$(x-1)(x-8)=2x(x-1).$$

Przenosząc wszystko na jedną stronę, otrzymujemy

$$(x-1)(-x-8)=0,$$

więc $x=1$ lub $x=-8$.

d) Założenia: $x\ne4,0$. Po wymnożeniu:

$$x(2x-2)=(x+3)(x-4) \quad\Longleftrightarrow\quad x^2-x+12=0.$$

Wyróżnik wynosi $\Delta=1-48=-47<0$, więc równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.

e) Założenia: $x\ne-3,-6$. Dalej

$$x(x+6)=6(x+3) \quad\Longleftrightarrow\quad x^2-18=0.$$

Stąd $x=-3\sqrt2$ lub $x=3\sqrt2$.

f) Założenia: $x\ne7,-1$. Otrzymujemy

$$2x(x+1)=x(x-7) \quad\Longleftrightarrow\quad x(x+9)=0.$$

Zatem $x=0$ lub $x=-9$. Wszystkie liczby przyjęte w a)–c), e), f) spełniają odpowiednie założenia.