NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 140

W każdym podpunkcie najpierw wykluczamy zero mianownika, a następnie mnożymy równanie przez mianownik.

a) $x\ne-1$ i

$$6=4(x+1)\quad\Longrightarrow\quad x=\frac12.$$

b) $x\ne0$ oraz

$$3x+2=5x\quad\Longrightarrow\quad x=1.$$

c) $x\ne\frac72$ i

$$3=-2x+7\quad\Longrightarrow\quad x=2.$$

d) $x\ne1$ oraz

$$2x=3(x-1)\quad\Longrightarrow\quad x=3.$$

e) $x\ne\frac13$. Mamy

$$7x+6=-4(1-3x)\quad\Longrightarrow\quad 7x+6=-4+12x\quad\Longrightarrow\quad x=2.$$

f) $x\ne4$ i

$$4-2x=-2(4-x)\quad\Longrightarrow\quad x=3.$$

g) $x\ne-\frac13$. Po przeniesieniu $2$ na prawą stronę:

$$x-5=2(3x+1)\quad\Longrightarrow\quad x=-\frac75.$$

h) $x\ne1$. Przenosimy $4$ na prawą stronę:

$$2x+4=-4(x-1)\quad\Longrightarrow\quad 6x=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0.$$

Każda otrzymana liczba spełnia odpowiednie założenie.

Po zapisaniu założenia mnożymy równanie przez jego mianownik.

a) Dla $x\ne0$:

$$2=x(x+1)\quad\Longleftrightarrow\quad x^2+x-2=(x+2)(x-1)=0.$$

Stąd $x=-2$ lub $x=1$.

b) Dla $x\ne0$:

$$-1=x(x+2)\quad\Longleftrightarrow\quad (x+1)^2=0,$$

więc $x=-1$.

c) Zakładamy $x\ne-3$. Wówczas

$$4=(x+3)^2,\qquad x+3=2 \text{lub} x+3=-2,$$

czyli $x=-1$ lub $x=-5$.

d) Dla $x\ne6$:

$$9=x(6-x)\quad\Longleftrightarrow\quad (x-3)^2=0,$$

zatem $x=3$.

e) Dla $x\ne0$:

$$6-5x=x^2\quad\Longleftrightarrow\quad (x+6)(x-1)=0.$$

Otrzymujemy $x=-6$ lub $x=1$.

f) Dla $x\ne0$:

$$8+x^2=-6x\quad\Longleftrightarrow\quad (x+4)(x+2)=0.$$

Zatem $x=-4$ lub $x=-2$.

g) Zakładamy $x\ne-2$. Mamy

$$3=x(x+2)\quad\Longleftrightarrow\quad (x+3)(x-1)=0,$$

więc $x=-3$ lub $x=1$.

h) Dla $x\ne3$:

$$-6=(2x+1)(x-3)\quad\Longleftrightarrow\quad 2x^2-5x+3=(2x-3)(x-1)=0.$$

Stąd $x=1$ lub $x=\frac32$. Wszystkie uzyskane liczby spełniają odpowiednie założenia.