NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 139

a) Zakładamy $x\ne-3$. Warunek zerowania licznika daje $x-7=0$, więc $x=7$, co spełnia założenie.

b) Zakładamy $x\ne3$. Ponieważ

$$7x+21=7(x+3),$$

licznik zeruje się dla $x=-3$. Ta liczba należy do dziedziny.

c) Założenie to $x\ne6$. Z równania licznika

$$-3x+9=-3(x-3)=0$$

otrzymujemy $x=3$, zgodne z założeniem.

a) Mianownik wyklucza $x=-3,-2$. Z licznika otrzymujemy

$$(x-3)(x+6)=0,\qquad x=3 \text{lub} x=-6.$$

Obie liczby należą do dziedziny.

b) Ponieważ $x^2-16=(x-4)(x+4)$, założenia to $x\ne-4,4$. Licznik

$$(2x+8)(x-16)=2(x+4)(x-16)$$

zeruje się dla $x=-4$ lub $x=16$. Pierwszą liczbę odrzucamy, więc pozostaje $x=16$.

c) Mianownik $x^2-1$ wyklucza $x=-1,1$. Z licznika:

$$(9-x)(2-6x)=0,\qquad x=9 \text{lub} x=\frac13.$$

Oba rozwiązania spełniają założenia.

a) Z mianownika otrzymujemy założenia $x\ne0$ i $x\ne-2$. Licznik spełnia

$$x(x-3)=0,\qquad x=0 \text{lub} x=3.$$

Odrzucamy $x=0$, zatem pozostaje $x=3$.

b) Mianownik wyklucza $x=3$ i $x=-\frac12$. Licznik zeruje się, gdy

$$\left(x+\frac12\right)(x+4)=0,\qquad x=-\frac12 \text{lub} x=-4.$$

Pierwsza liczba jest wykluczona, więc rozwiązaniem jest $x=-4$.

c) Ponieważ $x^2-9=(x-3)(x+3)$, mamy $x\ne-3,3$. Z licznika

$$(x+2)(x+3)=0,\qquad x=-2 \text{lub} x=-3.$$

Odrzucamy $x=-3$ i otrzymujemy $x=-2$.

W każdym podpunkcie wyznaczamy osobno zera mianownika i licznika.

a) Mianownik wyklucza $x=-\frac13,-2$. Licznik ma zera $0,5,-\frac13$, więc po odrzuceniu $-\frac13$ otrzymujemy $x=0$ lub $x=5$.

b) Z mianownika: $x\ne0,2,-4$. Z licznika:

$$x(x+2)(x-4)=0,\qquad x=0,-2,4.$$

Odrzucamy $0$, zatem $x=-2$ lub $x=4$.

c) Mianownik wyklucza $x=\frac32,-3,0$. Licznik zeruje się dla

$$x-3=0\quad\text{lub}\quad 6x-4=0,$$

czyli dla $x=3$ lub $x=\frac23$. Obie liczby są dopuszczalne.

d) Założenia to $x\ne0,-2,4$. Licznik ma zera $0,3,-2$; po uwzględnieniu założeń zostaje tylko $x=3$.

e) Rozkład mianownika

$$x^2(9x^2-4)=x^2(3x-2)(3x+2)$$

daje wyłączenia $x=0,\frac23,-\frac23$. Zera licznika to $0,\frac23,\frac49$, więc jedynym rozwiązaniem jest $x=\frac49$.

f) Z mianownika $x(4x^2-1)=x(2x-1)(2x+1)$ otrzymujemy $x\ne0,\frac12,-\frac12$. Licznik zeruje się dla $x=-\frac12$ lub $x=-3$. Odrzucamy $-\frac12$, pozostaje $x=-3$.

a) Mianownik $x(x-6)$ wyklucza $x=0,6$. Licznik ma postać

$$x^2+4x=x(x+4),$$

więc jego zera to $0$ i $-4$. Po uwzględnieniu dziedziny zostaje $x=-4$.

b) Rozkładamy licznik i mianownik:

$$x^2-16=(x-4)(x+4),\qquad 2x^2+8x=2x(x+4).$$

Założenia to $x\ne0,-4$. Kandydatami są $x=4,-4$, lecz $-4$ jest wykluczone. Otrzymujemy $x=4$.

c) Mianownik

$$x^2-1=(x-1)(x+1)$$

wyklucza $x=1,-1$. Licznik $(x+1)^2$ zeruje się wyłącznie dla $x=-1$, czyli poza dziedziną. Równanie jest sprzeczne.

Rozkładamy liczniki i mianowniki na czynniki.

a)

$$\frac{(2x-1)(x+3)}{(2x-1)^2}=0.$$

Założenie $x\ne\frac12$ usuwa jedno z zer licznika, dlatego $x=-3$.

b)

$$\frac{(3x+2)^2}{(3x+2)(x-1)}=0,\qquad x\ne-\frac23,1.$$

Jedynym zerem licznika jest wykluczone $-\frac23$, więc równanie jest sprzeczne.

c)

$$\frac{(x-3)(x+1)}{(x-3)(x+2)}=0,\qquad x\ne3,-2.$$

Po odrzuceniu $3$ pozostaje $x=-1$.

d)

$$\frac{(x-1)(x-4)}{(x-1)(x+2)}=0,\qquad x\ne1,-2.$$

Zatem jedynym rozwiązaniem jest $x=4$.

e)

$$\frac{(2x-1)(x-1)}{(x-1)(x-2)}=0,\qquad x\ne1,2.$$

Odrzucamy $1$ i otrzymujemy $x=\frac12$.

f)

$$\frac{(3x-1)(2x+1)}{(3x-1)(x+2)}=0,\qquad x\ne\frac13,-2.$$

Po odrzuceniu $\frac13$ zostaje $x=-\frac12$.

a) Licznik to $x(x+1)^2$, a mianownik $(x+1)(x+2)$ wyklucza $x=-1,-2$. Spośród zer licznika $0,-1$ dopuszczalne jest tylko $x=0$.

b)

$$\frac{x(x-3)(x+3)}{(x-3)^2}=0,\qquad x\ne3.$$

Zera licznika to $0,3,-3$. Odrzucamy $3$, zatem $x=-3$ lub $x=0$.

c)

$$\frac{x(x+2)^2}{x(x+2)}=0,\qquad x\ne0,-2.$$

Oba zera licznika są wyłączone z dziedziny. Równanie jest sprzeczne.

d) Mianownik $(x^2-1)^2$ wyklucza $x=-1,1$, a licznik ma postać

$$x^2(2x^2+4x+1).$$

Oprócz $x=0$ rozwiązujemy równanie kwadratowe. Jego wyróżnik wynosi

$$\Delta=4^2-4\cdot2\cdot1=8,$$

więc

$$x=\frac{-4\pm\sqrt8}{4}=-1\pm\frac{\sqrt2}{2}.$$

Żadna z tych trzech liczb nie jest wykluczona.

e) Rozkłady są następujące:

$$x^3-7x^2+12x=x(x-3)(x-4),$$ $$2x^4-5x^3-3x^2=x^2(2x+1)(x-3).$$

Dziedzina wyklucza $0,-\frac12,3$. Z zer licznika $0,3,4$ pozostaje tylko $x=4$.

f)

$$\frac{x(x+1)(x+2)}{x(x^2+3x+4)}=0.$$

Trójmian w mianowniku ma wyróżnik $9-16=-7<0$, zatem jedynym wyłączeniem rzeczywistym jest $x=0$. Po jego odrzuceniu zera licznika to $x=-2$ oraz $x=-1$.